[知识点] 2.7 前缀和与差分

Posted 2021-02-19 jinkun113

前言

没有想到前缀和也被单独拿出来作为一节来讲，不过也好，还可以顺便讲讲前面又碰到了一次的多维前缀和以及差分。

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2.7 前缀和与差分

1、前缀和

前缀和：对于数列 a，其第 1, 2, ..., i 项之和，即 a[1] + a[2] + ... + a[i]，称为数列 a 第 i 项的前缀和。

学过高中数学的数列章节就知道，“前缀和”和“前 n 项和 Sn”的概念是等价的。

前缀和有啥用？最简单的，如果我们要求数列某一个区间 [l, r] 之和，如果预处理了前缀和 sum，则直接 sum[r] - sum[l - 1] 就得到了区间和。

 

2、差分

和前缀和相对的一个概念。

差分：对于数列 a，其第 i 个元素和第 i - 1 个元素的差称为数列 a 第 i 项的差分。

令差分数组为 b，则存在：b[i] = a[i] - a[i - 1]

有意思的是，对差分数组求前缀和就又可以得到原数列 a 了。

sumb[i] = b[1] + b[2] + ... b[i] = a[1] + a[2] - a[1] + ... + a[i] - a[i - 1] = a[i]

那么我们拿着这个差分数组有什么用捏？

【例题】给定一个数列 a，进行 m 次操作，每次给定三个值 l, r, p，操作类型如下：

① 1 l r p，表示对 a[l..r] 的每一个元素加上 p；

② 2 l r，表示查询 a[l..r] 的元素和。

确保所有操作 ① 执行完后才会有操作 ②。

最简单的做法就是对于修改操作逐一加上 p，对于查询操作可以用前面的前缀和来求。但注意到题目最后这个限定：所有修改操作会在任意查询操作之前执行，这样其实我们可以拿差分数组做文章，每次只修改差分数组的两个端点即可，见下面的图解举例：

是不是很神奇呢？修改的方式很简单，如果修改区间为 [l, r]，则对 b[l] += p, b[r + 1] -=p，具体就不解释原因了。 

不过限定条件也体现出了这种方式的不足：差分数组相当于提供了一个临时的方舱医院，需要时间搭建，但一旦搭建好了就能很快收容大量病人，而等疫情结束后再拆除；普通医院是现成的，但床位不够效率不高，然而适用于平常的各种疑难杂症，可以随时收治（好像也不是很恰当、）。

所以如果遇到修改操作和查询操作交替出现的情况，差分数组的便捷则完全体现不出，需要反反复复地在原数组和差分数组之间转化，那和直接枚举的效率不相上下。但同时出现两种操作显然是更符合现实情况的，而要解决这种问题，树状数组和线段树（请参见：）都是很棒的方法，它们适用范围更广于差分数组，但是搭建起来，尤其是线段树，则较为麻烦。

 

3、多维前缀和