常用计数技巧和方法（Part 1）

Posted 2021-02-19 hs-black

常用计数技巧和方法（理论篇）

文章较长且大量使用 (LaTeX) 导致渲染较慢，因此分为两个部分

由于计数方面的知识非常的繁细，容易忘记，使用时不够熟练，这里总结一下

以下内容有所借鉴百度百科和大佬的 blog %%%

【瞎总结】组合模型及其组合意义的阐释

范德蒙德卷积以及一些二项式系数的推导

排列组合定义

排列：指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序

组合：组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序

[A_n^m = frac{fac[n]}{fac[n-m]}C_n^m={n choose m} = frac{fac[n]}{fac[m]cdot fac[n-m]} = frac{A_n^m}{fac[m]} ]

加法原理

第一类办法中有 (m_1) 种不同的方法，在第二类办法中有 (m_2) 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 (m_n) 种不同的方法，那么完成这件事共有 (N=m_1+m_2+m_3+…+m_n) 种不同方法

乘法原理

做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 (m_1) 种不同的方法，做第二步有 (m_2) 种不同的方法，……，做第n 步有 (m_n) 种不同的方法，那么完成这件事共有 (N=m_1×m_2×m_3×…×m_n) 种不同的方法。

二项式定理

[large{(a+b)^n=sum_{i=0}^n{nchoose i}a^ib^{n-i}}]

很好理解，每个 ((a+b)) 中可以选出 a 或 b，最终有 k 个 a 的方案数就是 (n choose k)

其他变形，在部分题可以应用

[large{(a-b)^n=sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}{nchoose i}a^ib^{n-i}}large{frac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2}=sum_{i为偶数}^n{n choose i}a_{n-i}b^i} ]

杨辉三角

容易发现其与二项式系数有着对应关系

其他性质

• ({n choose i} = {n-1 choose i}{n-1 choose i-1}) 选不选 n 号物品
• ({n choose i} = {n choose n-i})
• (2^n=sum_{i=0}^n {nchoose i})
• (sum_{i为奇数}{nchoose i}=sum_{i为偶数}{nchoose i}=2^{n-1})

组合数的奇偶（了解）

对组合数 (n choose k)：将 n，k 分别化为二进制，若某二进制位对应的 n 为 0，而 k 为 1，则 (n choose k) 为偶数；否则为奇数。

快速计算组合数的方法

• 预处理逆元，定义法计算 (Theta (N+T))
• 将杨辉三角打表，(Theta(N^2+T))
• 对于模数较小的情况可以使用 Lucas 定理和 exLucas 解决
• 暴力处理上下的质因数消元

范德蒙德卷积

(sum_{i=0}^k{n choose i}{m choose k-i}= {n + mchoose k})

理解：从两堆共选 k 可表示为枚举第一堆选多少的方案数 * 第二堆的方案数

(sum_{i=1}^n{n choose i}{n choose i-1} = { 2nchoose n-1})

可以从第一个式子推来，将 ({n choose i}) 化为 (n choose n-i) 即可

(sum_{i=0}^n{nchoose i}^2={2n choose n})

(sum_{i=0}^m{n choose i}{m choose i}={n+m choose m})

隔板法（重点）

问题形式一：将 n 个相同苹果放入 m 个不同的箱子里的方案数（可以限制是否为空）

问题形式二：解方程 (x_1+x_2+ cdots+x_m = n) ，正整数解或自然数方案数

将 n 个苹果排成一列，发现有 n - 1 的空隙，在其中 m 个空隙中插上隔板，两个隔板中的苹果扔到同一个箱子里即可，如果可以为零就加上 m 个虚拟苹果

• 解方程变形：(x_1+x_2+ cdots+x_m le n) 再加入一个变量即可
• 个数限制：容斥枚举那些超出限制即可

可重组合

问题：有 m 种球每种球都是足够多的，有 n 个相同盒子，现在要把盒子塞满(一种球可以用多次)，多少种方案？

[H(n,m)={{m+n-1}choose n} ]

理解一：隔板法

枚举每种球放入几个盒子，隔板法解决即可

理解二：构造

将 n 个盒子的球按编号排序，第 i 个变为 (a_i+i)，这样可以保证每个盒子里的球编号互不相同了，发现任意从 ([2, n + m]) 选出来 n 个数都可以还原到原来的数列

拓展一：盒子有编号（直接乘上 fac[n]）

拓展二：盒子可以为空 （隔板法的解方程变形）

扩展三：球有个数限制，同隔板法

不相邻组合

问题：有 n 个球，m 个盒子，选出的球不能相邻（即i 和 i + 1 不可同时选择），有多少种组合方式？

[H(n,m)={n-m+1 choose n} ]

理解：构造

同可重集合将[1, n] 缩小到 [0, n-m]，易证

格路模型

从坐标原点走到 ((n,m)) 的方案数是

[{{n+m}choose n} ]

没啥好说的。。。

艾提艾斯提模型

以前从未听说QAQ

[{{n+m+1}choose m}=sum_{i=0}^m {n+m-ichoose m-i} ]

从坐标 ((n+1,m)) 开始，枚举第一步向下走多少步，且从左边走过来

画个图会很好理解

备胎模型

奇怪的名称增加了

[{n choose l}{l choose r}={n choose r}{n-rchoose l-r},lin[r,n] ]

从 n 中选 l 个再从 l 中选 r 个等价于直接从 n 中选 r 个，再从剩下的选 (l - r) 个

直接走定义式也可证明

拓展形式

[prod_{i=1}^k{a_{i-1}choose a_i}={a_0choose a_k}prod_{i=1}^{k-1}{a_0-a_ichoose a_i- a_{i+1}} ]

奇偶模型

[sum_{i为奇数}{nchoose i}=sum_{i为偶数}{nchoose i}=2^{n-1} ]

二项式定理令 (x = 1, y = -1) 即可证明

组合解释

对于 x 元素来说，有一半的集合包含它，一半的集合不包含，包含它的奇子集将它去掉变为不包含它的偶子集，不包含它的奇子集加上它变为包含它的偶子集，得证！

两个恒等式

上定下动

[sum_{i=1}^n {nchoose i}=2^n ]

下定上动

[sum_{i=r}^n{i choose r}={n+1choose r+1} ]

理解：枚举选出来的最大编号

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