矩阵论练习16（内积与标准正交基）

Posted 2021-02-19 forcekeng

题目

在 (V=R_3[x]) 中定义内积：(<f(x),g(x)>=int_{-1}^1 f(x)g(x)dx)，求 (V) 的一组标准正交基。

解答

思路：先找出一组基，再 Schmidt 正交化，然后再标准化即可。

1. 在 (R_3[x]) 中选定基 ([alpha_1,alpha_2,alpha_3]=[1,x,x^2])
2. 正交化：
   a. (eta_1=alpha_1=1)
   b. (eta_2=alpha_2 - frac{<alpha_2,eta_1>}{<eta_1,eta_1>}eta_1 = x)
   c. (eta_3=alpha_3 - frac{<alpha_3,eta_2>}{<eta_2,eta_2>}eta_2 - frac{<alpha_3,eta_1>}{<eta_1,eta_1>}eta_1 = x^2 - frac{1}{3})

上面省略中间计算步骤，比如要求 (<alpha_2,eta_1>)， (<alpha_2,eta_1>=int_{-1}^1 (xcdot 1) dx=0).

3. 标准化
   a. (gamma_1 = frac{eta_1}{| eta_1 |}=frac{1}{sqrt{2}})
   b. (gamma_2 = frac{eta_2}{| eta_2 |}=sqrt{frac{3}{2}}x)
   c. (gamma_3 = frac{eta_3}{| eta_3 |}=sqrt{frac{45}{8}}(x^2-frac{1}{3}))
   其实就积分，要算 (| eta_1 |), (| eta_1 |=sqrt{<eta_1,eta_1>}=sqrt{int_{-1}^1 (1cdot 1)dx}=sqrt{2})
   其余计算这里就不计算了。

由以上步骤可以看出，内积的定义决定了什么样的基是正交基，同时内积的定义方式也影响向量的长度。