线性代数期末大总结I
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了线性代数期末大总结I相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
行列式
n阶行列式的计算:
其中t
为排列(p_1p_2p_3 cdots p_n)的逆序数,由于这样的排列共有(n!)个,所以n阶行列式共有(n!)项。
行列式的性质:
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行列式与他的转置行列式相等
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对换行列式的两行/列,行列式变号
可推出:如果行列式有两行/列完全相等,则行列式等于0
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行列式的某一行/列中多有元素乘以k,等于k乘以此行列式
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行列式中如果有两行/列元素成比例,则此行列式等于0
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把行列式的某一行/列元素同乘以某数k,再加到另一行/列对应元素上,行列式不变
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如下:
[若D=left|egin{matrix}a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \vdots & vdots & & vdots \a_{i1}+a_{i1}^, & a_{i2}+a_{i2}^, & cdots & a_{in}+a_{in}^, \vdots & vdots & & vdots \a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}end{matrix} ight| ]
行列式等于它的任一行/列各个元素与其对应得代数余子式乘积得和。
矩阵的运算
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矩阵加法:两同型矩阵对应元素相加。
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数与矩阵相乘:等于该矩阵所有元素同乘该数。
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矩阵与矩阵相乘:如(AxB)结果的第i行j列元素为A的i行与B的j列对应元素相乘再相加。
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矩阵的转置:
[(A^T)^T=A(A+B)^T=A^T+B^T(lambda A)^T=lambda A^T(AB)^T=B^TA^T ] -
方阵的行列式:
- 伴随矩阵:其中(A_{ij})为(|A|)的代数余子式[矩阵A的伴随矩阵A^*= left[ egin{matrix} A_{11} & A_{21} & cdots & A_{n1} A_{12} & A_{22} & cdots & A_{n2} vdots & vdots & & vdots A_{1n} & A_{2n} & cdots & A_{nn} \end{matrix} ight] 可得:AA^*=A^*A=|A|E ]
逆矩阵:
定义:对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B使得(AB=BA=E),那么称A可逆,B为A的逆矩阵。
-
若A可逆,则(|A| eq 0)
-
若(|A| eq 0),则:
[A^{-1}=frac{A^*}{|A|} ]
当(|A|=0)时,A称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵。由以上两定理可知:
A是可逆矩阵的充分必要条件是(|A| eq 0),即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
逆矩阵满足下述运算规律:
逆矩阵的初步运用:
设(varphi (A)=a_0E + a_1A + cdots + a_mA^m)为矩阵A的m次多项式。
-
如果$ A=PLambda P^{-1} (,则) A^k = PLambdakP{-1} $,从而:
[egin{align} varphi(A) & = a_0E + a_1A + cdots + a_mA^m & = Pa_0EP^{-1} + Pa_1Lambda P^{-1} + cdots + Pa_mLambda^m P^{-1} & = P(a_0E + a_1Lambda + cdots + a_mLambda^m)P^{-1} & = P varphi(Lambda)P^{-1} end{align} ] -
如果(Lambda = diag(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n))为对角矩阵,则(Lambda^k = diag(lambda_1^k,lambda_2^k,cdots,lambda_n^k)),从而:
[egin{align}varphi(Lambda)& = a_0E + a_1A + cdots + a_mA^m\& = left[egin{matrix} varphi(lambda_1) \ &varphi(lambda_2)\ &&ddots\ &&&varphi(lambda_n)end{matrix} ight]end{align} ]
克拉默法则:
- 如果线性方程的系数矩阵A的行列式不等于零,则方程组有唯一解:[x_n = frac{|A_n|}{|A|} ]
分块矩阵:
- 转置:
- 分块对角矩阵:(A_i)是方阵,则如下A分块矩阵为分块对角矩阵
分块对角矩阵有如下性质:
矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换:
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如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,则称矩阵A与B行等价。
-
如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,则称矩阵A与B列等价。
-
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价。
-
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,初等矩阵可逆,有限个可逆矩阵乘积仍然可逆。
行阶梯形矩阵:非零行在零行上面,非零行的首非零元素所在列在上一行的首非零元素所在列的右面。
行最简形矩阵:非零行的首非零元为1,首非零元所在的列的其余元均为0。
方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵(P_1P_2cdots P_l)使得(A=P_1P_2cdots P_l)。
可推出:方阵A可逆的充要条件是A与E行等价。
矩阵的秩:
K阶子式与秩:在m行n列的矩阵A中,任取k行k列,位于这些行列交叉处的元素,不改变相对位置而得到的K阶行列式,称为A的k阶子式。A的最高阶子式设为r阶子式,那么r就为A的秩 ,记作R(A)=r
。
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如果A行等价B,则A与B中非零子式的最高阶数相等。
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(R(A)=R(A^T))。
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可逆矩阵又称满秩矩阵,不可逆矩阵又称为降秩矩阵。
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初等变换作为一种运算,其深刻意义在于不改变矩阵的秩。
性质(不完全):
- (R(A+B) leq R(A)+R(B))
- (R(AB) leq min{R(A), R(B)})
- 若(A_{m,n}B_{n,l}=O),则(R(A) + R(B) leq n)
- 若(AB=O)且A为满秩矩阵,则(B=O)。
线性方程组的解:
n元线性方程组(Ax=b) 。
- 无解充要条件是(R(A)<R(A,b))。
- 唯一解充要条件(R(A)=R(A,b)=n)。
- 无穷解充要条件(R(A)=R(A,b)<n)
- (Ax=0)有非零解的充要条件是(R(A)<n)。
- 矩阵方程(AX=B)有解的充要条件是(R(A)=R(A,B))。
- 设(AB=C),则(R(C)leq min{R(A), R(B)})
以上是关于线性代数期末大总结I的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
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