线性代数期末大总结II

Posted 2021-02-19 xxmmqg

向量组的线性相关性

向量组及其线性组合：

• n个有次序的数(a_1,a_2,cdots,a_n)所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数(a_i)称为第i个分量。

  若干行同维数的列向量（或者行向量）所组成的集合叫做向量组。

• 向量(b)能由向量组(A：a_1, a_2,cdots,a_m)线性表示的充要条件是矩阵(A=(a_1,a_2,cdots,a_m))的秩等于矩阵(B=(a_1,a_2,cdots,a_m,b))的秩。

• 设有两个向量组A和B，若B中的每一个元素都可以由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A和B能够相互线性表示，则称这两个向量等价。

• 向量组(B:b_1,b_2,cdots,b_l)能由向量组(A=(a_1,a_2,cdots,a_m))线性表示（即(AX=B)有解）的充要条件是(R(A)=R(A,B))。

  推论：A与B等价的充要条件是(R(A)=R(B)=R(A,B))

• 设向量组B能由向量组A线性表示，则(R(B)leq R(A))。

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向量组的线性相关性：

• 给定向量组(A：a_1, a_2,cdots,a_m)，如果存在不全为零的数(k_1,k_2,cdots,k_m)使

  [k_1a_1+k_2a_2+cdots+k_ma_m=0 ]

  则称A是线性相关的，否则称为线性无关。

• 向量组(A：a_1, a_2,cdots,a_m)线性相关的充要条件是(R(A)<m)。线性无关充要条件是(R(A)=m)。

• 若向量组(A：a_1, a_2,cdots,a_m)线性相关，则向量组(A：a_1, a_2,cdots,a_m,a_{m+1})也线性相关。反之，若向量组B线性无关，则A也线性无关。

• m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。

• 设向量组(A：a_1, a_2,cdots,a_m)线性无关，而向量组(B：a_1, a_2,cdots,a_m,b)线性相关，则向量b必能由A线性表示，且表示式唯一。

向量组的秩：
设有向量组A，如果在A中能选出r个向量(a_1,a_2,cdots,a_r)，满足：

1. 向量组(A_0：a_1,a_2,cdots,a_r)线性相关；
2. 向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关，

那么称(A_0)是向量组A中的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组），最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记为(R_A)。

推论：设向量组(A_0：a_1,a_2,cdots,a_r)是向量组A的一个部分组，且满足：

1. (A_0)线性无关；
2. A的任一向量都能由向量组(A_0)表示，

那么，(A_0)便是A的一个最大无关组。

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• 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

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线性方程组的解的结构：

• 设(m imes n)矩阵(A)的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组(Ax=0)的解集(S)的秩(R_s=n-r)。
• 非齐次线性方程组的通解=该方程组的一个特解+对应齐次方程组的通解。

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向量空间：

定义1：设V是n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及乘法两种运算封闭，那么称集合V为向量空间。

一般地，由向量组(a_1,a_2,cdots,a_m)所生成的向量空间为：

[L={ x=lambda_1a_1+lambda_2a_2+cdots +lambda_ma_m | lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_m in R } ]

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定义2：设V是一个向量空间，如果有(a_1,a_2,cdots,a_r)线性相关且V中任一向量都可以由(a_1,a_2,cdots,a_r)线性表示，那么(a_1,a_2,cdots,a_r)就称为向量空间V的一个基，r称为V的维数，并称V为r维向量空间。

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定义3：如果向量空间V取定一个基(a_1,a_2,cdots,a_r)，那么V中任意一个向量(x)可唯一地表示为

[x=lambda_1a_1+lambda_2a_2+cdots +lambda_ra_r ]

数组(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_r)称为向量(x)在基(a_1,a_2,cdots,a_r)中的坐标。

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在(R^3)中取定一个基(a_1,a_2,a_3)，再取一个新基(b_1,b_2,b_3)，设(A=(a_1,a_2,a_3))，(B=(b_1,b_2,b_3))。有：

[(b_1,b_2,b_3)=(a_1,a_2,a_3)P ]

其中系数矩阵(P=A^{-1}B)称为旧基到新基的过渡矩阵。

设向量(x)在旧基和新基中的坐标分别为(y_1,y_2,y_3)和(z_1,z_2,z_3)，则有：

[left[egin{matrix}z_1\z_2\z_3end{matrix} ight]=P^{-1}left[egin{matrix}y_1\y_2\y_3end{matrix} ight] ]