卡特兰数（catalan）总结

Posted 2020-11-10 casun547

卡特兰数的公式

递推公式1：$f(n)=sum limits_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)$

递推公式2：$f(n)=frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1}$

组合公式1：$f(n)=frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$

组合公式2：$f(n)=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$

后两个最为常用

关于卡特兰数的题目

1. 有限制的网格方案数   eg网格

利用组合数的思想：

对于长N宽M的网格（下图2），方案数为 $C_{n+m}^{m}-C_{n+m}^{m-1}$

理解：走到（n，m）这个点总共要走n+m步，其中有m步一定是向上的，所以$C_{n+m}^{m}$这是所有情况

　　　但有不合法的情况，且不合法的一定经过绿线，将原图形沿其翻折，相当于走到c点，此时总n+m步不变，但只有m-1步是向右的

　　　所以$C_{n+m}^{m-1}$是不合法的

                                                              （借用kaola学长的图）

对于N×N的网格就是卡特兰数了，如图一

 本题先将式子化简，然后将其分解质因数，消去除法，最后乘上每个质数的个数次方就好

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 using namespace std;
 6 int n,m,num,p[10005],v[10005];
 7 int sum[10005];
 8 void prime(int x)
 9 {
10     for(int i=2;i<=x;i++)
11     {
12         if(!v[i])    {v[i]=i;p[++num]=i;}
13         for(int j=1;j<=num;j++){
14             if(p[j]>v[i]||i*p[j]>x) continue;
15             v[i*p[j]]=p[j];
16         }
17     }
18 }
19 int len=1,ans[100000001];
20 void mul(int x)
21 {
22     int k=0;
23     for(int i=1;i<=len;i++)
24     {
25         ans[i]=ans[i]*x+k;
26         k=ans[i]/10;
27         ans[i]%=10;
28         if(k>0&&i==len)  len++;
29     }
30 }
31 int main()
32 {
33     ans[1]=1;
34     scanf("%d%d",&n,&m);
35     prime(n+m+1);
36     int t=n+1-m;
37     while(t>1)
38     {
39         sum[v[t]]++;
40         t/=v[t];
41     }
42     for(int i=n+m;i>=n+2;i--)
43     {
44         t=i;
45         while(t>1)
46         {
47             sum[v[t]]++;
48             t/=v[t];
49         }
50     }
51     for(int i=2;i<=m;i++)
52     {
53         t=i;
54         while(t>1)
55         {
56             sum[v[t]]--;
57             t/=v[t];
58         }
59     }
60     for(int i=1;i<=num;i++)
61         for(int j=1;j<=sum[p[i]];j++)
62             mul(p[i]);
63     for(int i=len;i>=1;i--)
64         printf("%d",ans[i]);
65     puts("");
66 }

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 2.有趣的数列

其实这个也可以理解为上一个网格，将偶数位记为向右走一步，奇数位记为向上走一步偶数位之和大于奇数位之和，就是不能越过绿线

3.