全概率公式和贝叶斯准则

Posted 2021-02-18 mysterygust

完备事件组

设 Ω 为试验E的样本空间，B₁, B₂, …, B_n 为E的一组事件。若

B_i ∩ B_j = Φ (i ≠ j 且 i, j =1, 2, …n)

B₁ U B₂ U … U B_n = Ω

则称B₁, B₂, …, B_n 为样本空间 Ω 的完备事件组的一个划分。

 

 

 注：上图就是对一个样本空间的划分且每个划分单元两两不相容。

全概率的概念

设A₁，A₂，…，A_n 是一组互不相容的事件，形成样本空间的一个分割(每个试验结果必使其中一个事件发生).

又假定对每个i，P(A_i) > 0.则对任何事件B，下列公式成立

P(B) = P(A₁ ∩ B) +  P(A₂ ∩ B) + … +  P(A_n ∩ B)

        = P(A₁)P(B|A₁) + … + P(A_n)P(B|A_n)

 

 上图解释：

 

 上面这n中因素都可以导致事件B发生，所以事件B发生的可能性为 P(A₁)P(B|A₁) + … + P(A_n)P(B|A_n)，这又叫正向概率

贝叶斯公式

 

 

 对上图稍加改变，就成了我们的贝叶斯公式。换句话说，就是已知结果，求那个因素导致其发生的概率。

贝叶斯概念

 

设A₁，A₂，…，A_n 是一组互不相容的事件，形成样本空间的一个分割(每个试验结果必使其中一个事件发生).

 

又假定对每个i，P(A_i) > 0.则对任何事件B