DP-02动态规划算法题目解析

Posted 2021-02-17 yifanrensheng

目录

1. 最长公共子序列
2. 编辑距离
3. 最长上升子序列

结合上一篇文章，再继续尝试解决动态规划题目

一、1143. 最长公共子序列

1.1 问题：

给定两个字符串?text1 和?text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的?子序列?是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"

输出：3

解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

示例 2:

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"

输出：3

解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。

示例 3:

输入：text1 = "abc", text2 = "def"

输出：0

解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。

1.2 求解：

1）步骤一：定义子问题

要定义子问题，我们还是抓住这样一个子问题的基本性质：子问题是和原问题相似，但规模较小的问题。本体属于二维动态规划题目。

f(i,j) 表示长度为i和j的两个字符串的公共子串长度。

2）写出子问题的递推关系

这一步是求解动态规划问题的关键。二维的子问题有很多可能的递推关系，有些题目一目了然，有些则可能需要仔细推敲。 一般来说，我们首先思考能不能使用一种最简单的子问题递推关系：看当前子问题和前一个子问题的关系。如果是一维子问题，就是看 f(i)和 f(i-1)的关系；如果是二维子问题，则是看f(i,j)和f(i-1,j) 、f(i,j-1)、f(i-1,j-1) 的关系。LCS 问题就是这种简单递推关系的代表。

情况一：

情况二：

这样，我们得到的子问题递推关系为：

注意这里涉及到边界值：

3）确定 DP 数组的计算顺序

对于二维动态规划问题，我们仍然要坚持使用 DP 数组，用自底向上的顺序计算子问题。因为?DP 数组中的每一个元素都对应一个子问题，当子问题变成二维之后，DP 数组也需要是二维数组。在 DP 数组中，

Dp[i][j]对应子问题f(i,j)的值。

但是对于二维动态规划问题，我们需要有一定的方法来思考 DP 数组的计算顺序。

DP 数组计算顺序的基本原则是：当我们计算一个子问题时，它所依赖的其他子问题应该已经计算好了。?根据这个原则，我们思考三点内容。

第一点：DP 数组的有效范围是什么？

因此 dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)] 。定义数组为[m+1][n+1].

第二点：base case 和原问题在 DP 数组中在什么位置？?如下图所示，base case 位于 DP 数组的最左侧一列和最上方一行，而原问题则位于 DP 数组的右下角。

第三点：DP 数组的子问题依赖方向是什么？?观察子问题的递推关系，f(i,j)依赖：f(i-1,j) 、f(i,j-1)、f(i-1,j-1) 。

我们发现，子问题的依赖方向是向右、向下的，因此 DP 数组的计算顺序也应该是从左到右、从上到下。也就是说我们应该以这样的顺序遍历 DP 数组：

for i in range(1,m+1):
for j in range(1,n+1):

具体代码见1.3部分。

4 ）空间优化（可选）

二维动态规划问题的 DP 数组变成了二维数组，空间复杂度更高了。因此，二维动态规划问题也更值得进行空间优化，降低空间复杂度。

不过，二维动态规划问题的空间优化有很多种方法，需要根据不同的情况灵活使用。空间优化的步骤是可选的，优化不优化都可以。 本题进行垂直方向压缩，也即是只取n+1维数组，如下图所示，具体代码见1.3部分。

最终变成以下表达式，后续根据这个向右滚动。

last	temp
dp[j-1]	dp[j-1]

需要注意的是，空间优化方法只能优化空间复杂度，不能优化时间复杂度。例如 LCS 问题在空间优化前后的复杂度为：

1.3 代码

1）优化前

class?Solution(object):

????def?longestCommonSubsequence(self,?text1,?text2):

????????"""

????子问题：

?????f(i,?j)?=?s[0..i)?和?t[0..j)?的最长公共子序列

?????f(0,?*)?=?0

?????f(*,?0)?=?0

?????f(i,?j)?=?f(i-1,?j-1)?+?1,?if?s[i-1]?==?t[j-1]

????????max{?f(i-1,?j),?f(i,?j-1)?},?otherwise

????????"""

????????if?not?text1?or?not?text2:

????????????return?0

????????m?=?len(text1)

????????n?=?len(text2)

????????dp?=?[[0]*(n+1)?for?_?in?range(m+1)] #[m+1][n+1]的矩阵

????????for?i?in?range(1,m+1):

????????????for?j?in?range(1,n+1):

????????????????if?text1[i-1]?==?text2[j-1]:

????????????????????dp[i][j]?=?1?+?dp[i-1][j-1]

????????????????else:

????????????????????dp[i][j]?=?max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

????????return?dp[m][n]

2）优化后

class?Solution(object):

????def?longestCommonSubsequence(self,?text1,?text2):

????????"""

????子问题：

?????f(i,?j)?=?s[0..i)?和?t[0..j)?的最长公共子序列

?????f(0,?*)?=?0

?????f(*,?0)?=?0

?????f(i,?j)?=?f(i-1,?j-1)?+?1,?if?s[i-1]?==?t[j-1]

????????max{?f(i-1,?j),?f(i,?j-1)?},?otherwise

????????"""

????????if?not?text1?or?not?text2:

????????????return?0

????????m?=?len(text1)

????????n?=?len(text2)

????????dp?=?[0]*(n+1)

????????#?temp?=?0

????????for?i?in?range(1,m+1):

????????????last?=?0?

????????????for?j?in?range(1,n+1):

????????????????temp?=dp[j]

????????????????if?text1[i-1]?==?text2[j-1]:

????????????????????dp[j]?=?last?+?1

????????????????else:

????????????????????dp[j]?=?max(temp,dp[j-1])

????????????????last?=?temp #向前滚动，temp的值赋值给last

????????return?dp[n]

二、leetcode72. 编辑距离

2.1 问题：

给你两个单词?word1 和?word2，请你计算出将?word1?转换成?word2 所使用的最少操作数?。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符

删除一个字符

替换一个字符

示例?1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"

输出：3

解释：

horse -> rorse (将 ‘h‘ 替换为 ‘r‘)

rorse -> rose (删除 ‘r‘)

rose -> ros (删除 ‘e‘)

示例?2：

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"

输出：5

解释：

intention -> inention (删除 ‘t‘)

inention -> enention (将 ‘i‘ 替换为 ‘e‘)

enention -> exention (将 ‘n‘ 替换为 ‘x‘)

exention -> exection (将 ‘n‘ 替换为 ‘c‘)

exection -> execution (插入 ‘u‘)

2.2 求解：

该问题较难，先分析如下：

如果你觉得从全局考虑很困难，就试试先不考虑全局，从局部入手。我们可以只考虑其中的「一步」，至于剩下的步骤，就交给其他子问题完成就行。对于编辑距离来说，这「一步」就是指「单次的编辑操作」。

这有点类似递归的思路。我只需要把当前这一步计算做好，然后相信递归函数能帮我做好剩下的计算。动态规划其实很像递归，只不过动态规划一般是自底向上计算，保存每个子问题。

1）步骤一：定义子问题

? ?

2）写出子问题的递推关系

dp[i][j] 代表 word1 到 i 位置转换成 word2 到 j 位置需要最少步数所以，

情况一，如下图当 word1[i] != word2[j]，dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1

情况二，如下图所示：当 word1[i] == word2[j]，dp[i][j] = dp[i-1][j-1]；

其中，dp[i-1][j-1] 表示替换操作，dp[i-1][j] 表示删除操作，dp[i][j-1] 表示插入操作。补充理解如下：

以 word1 为 "horse"，word2 为 "ros"，且 dp[5][3] 为例，即要将 word1的前 5 个字符转换为 word2的前 3 个字符，也就是将 horse 转换为 ros，因此有：

(1) dp[i-1][j-1]，即先将 word1 的前 4 个字符 hors 转换为 word2 的前 2 个字符 ro，然后将第五个字符 word1[4]（因为下标基数以 0 开始） 由 e 替换为 s（即替换为 word2 的第三个字符，word2[2]）

(2) dp[i][j-1]，即先将 word1 的前 5 个字符 horse 转换为 word2 的前 2 个字符 ro，然后在末尾补充一个 s，即插入操作

(3) dp[i-1][j]，即先将 word1 的前 4 个字符 hors 转换为 word2 的前 3 个字符 ros，然后删除 word1 的第 5 个字符

? ?

这样，我们得到最终的子问题递推关系为：

注意这里涉及到边界值：

f(0,j) = j

f(i,0) =i

3）确定 DP 数组的计算顺序

和第一章类似，f(i,j)依赖：f(i-1,j) 、f(i,j-1)、f(i-1,j-1) 。

具体代码可见2.3

4 ）空间优化（可选）

编辑距离问题本身属于较难的题目，所以我们写出基本的解法就可以，一般面试中不会追问空间优化的方法。

2.3 代码

class?Solution:

????def?minDistance(self,?word1:?str,?word2:?str)?->?int:

????????n1?=?len(word1)

????????n2?=?len(word2)

????????dp?=?[[0]?*?(n2?+?1)?for?_?in?range(n1?+?1)]

????????#?第一行，初始化

????????for?j?in?range(1,?n2?+?1):

????????????dp[0][j]?=?dp[0][j-1]?+?1

????????#?第一列，初始化

????????for?i?in?range(1,?n1?+?1):

????????????dp[i][0]?=?dp[i-1][0]?+?1

????????for?i?in?range(1,?n1?+?1):

????????????for?j?in?range(1,?n2?+?1):

????????????????if?word1[i-1]?==?word2[j-1]:

????????????????????dp[i][j]?=?dp[i-1][j-1]

????????????????else:

????????????????????dp[i][j]?=?min(dp[i][j-1],?dp[i-1][j],?dp[i-1][j-1]?)?+?1

????????#print(dp)??????

????????return?dp[-1][-1]

三、leetcode300. 最长上升子序列

3.1 问题：

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]

输出: 4

解释: 最长的上升子序列是?[2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。

你算法的时间复杂度应该为?O(n^2) 。

进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到?O(n log n) 吗?

注意：这里不用紧邻，只要前后关系即可。

3.2 求解：

1）步骤一：定义子问题

每个问题可以看成规模更小的子问题，使用DP[i]表示nums前i个数字的最长子序列长度。

2）写出子问题的递推关系

每次可能用到所有的dp[i]的数据。

3）确定 DP 数组的计算顺序

根据当前i的值，和递归后的值进行比较，取最大的。

4 ）空间优化（可选）

每次都要用到之前的数据，本题不可优化。

3.3 代码

#?Dynamic?programming.

class?Solution:

????def?lengthOfLIS(self,?nums:?List[int])?->?int:

????????if?not?nums:?return?0

????????dp?=?[1]?*?len(nums)

????????for?i?in?range(len(nums)):

????????????for?j?in?range(i):

????????????????if?nums[j]?<?nums[i]:?#?如果要求非严格递增，将此行?‘<‘?改为?‘<=‘?即可。

????????????????????dp[i]?=?max(dp[i],?dp[j]?+?1)

????????return?max(dp)

参考文献：

【1】 最长公共子序列：二维动态规划的解法

【2】经典动态规划：编辑距离