P1063 能量项链

Posted 2021-02-17 zcxy

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是MarsMarsMars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m × r × n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10×2×3=60

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：
((4⊕1)⊕2)⊕3）=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710

输入格式
第一行是一个正整数N(4≤N≤100)，表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记(1≤i≤N)，当i<N时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式
一个正整数E(E≤2.1×10₉)为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

很明显是一个区间DP，对于这种成环的问题，我们可以开2倍的数组来存
状态表示：f[i][j] 表示从第 i 个珠子到第 j 个珠子连接释放能量最大值
状态计算：枚举长度len和左端点 l，得出右端点 r ，然后枚举中间值，那么每次更新的方式是左边的最大值 + 右边的最大值 + 二者合成所释放的能量，
表达式为 f[l][k] + f[k+1][r] + a[l]*a[k+1]*a[r+1]

Code:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 610;

int n;
int a[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        cin >> a[i];
        a[n+i] = a[i];
    }
    
    int ans = -1e9;
    for(int len = 2;len <= n;len++)
        for(int i = 1;i <= 2*n && i+len-1 <= 2*n;i++)
        {
            int l = i,r = i+len-1;
            for(int k = i;k < r;k++)
            {
                f[l][r] = max(f[l][r], f[l][k] + f[k+1][r] + a[l]*a[k+1]*a[r+1]);
                ans = max(ans, f[l][r]);
            }
        }
    
    cout << ans << endl;
}