一次演算

Posted 2021-02-17 analysis-pde

前几天把阿开送到他外婆家后，就开始弄自己文章的事情，其实这都是1年多前的内容了。稍微整理了一下，整理之中又仔细看了看别人的文章，然后有看了看非参极小曲面的边界估计，发现Giusti的结果确实可以有一些改进的余地，关键是要做边界梯度估计，我开始想着是不是可以照着一致椭圆的路子走一遍，想了半天，发现这个平均曲率非负好像真的就只能用距离函数的复合函数来够着，想通了，看了看GT后面的内容，发现这些内容已经被Lieberman在CPDE86的一个文章上解决了，以前也瞄过那个文章，没有细看，有时我总觉得他写的太复杂了，其实静下心来一看就发现他当时想的结构现在看来是自然的，因为w的结果也在那之后，有些思想是相通的，毕竟非参极小曲面太经典，想要改进一点点结果似乎有些难度，不过我猜想可能还有一点点内容可以写个Remark，只是猜想，有空再细看。因为只要有了边界梯度估计，再加上内部BDG梯度估计，他就变成一致椭圆的了，然后事情就简单了。这也是为什么我开始看Giusti的结果的时候觉得可以改进的原因。事实上，它的结果是74年的，太早了，肯定早有改进了。似乎那个时候好多华人数学名家也都研究过极小曲面方程的内容。这是一方面的事情。而正当我写之前的结果的时候，也不知道是怎么回事，可能这几年以来杂事太多，本身精力大不如前，没有静心思考的时间，这在以前是多么幸福的事情。那时可能有些烦躁。我记得那年寒假去王老师那里去讨论问题，坐完飞机直接打了个车到sjtu，王正在办公室等我，我们一起讨论了那个迭代的收敛性问题，一直讨论到下午6点多才去食堂吃了饭，期间他给我一个关于完全非线性方程的liouville型问题，到现在好像也没有人解决，我现在也没时间集中去想啊。然后又谈到了Hardy空间的估计，似乎有一位华人数学家最早也研究了，w的想法是能不能给出一种更好的定义，这确实是值得思考的问题。晚上继续讨论，似乎也没有结果。到11点才离开办公室回到宾馆。第二天星期六，王老师说让我过去再讨论，讨论了一个下午好像也没有其他的结果，但王老师一直深信结果是正确的，我们顺带还讨论了一下参考文献，猛然间似乎有些启发，从他给我做的几何解释来讲，确实我说的结果应该是存在的，也是合理的。时间马上到了晚上，也那边的李老师，还有几个学生一起去吃了饭，然后回来办公室，又讨论了一会儿，我问王老师，还可以继续做些什么，他建议要考虑p-Laplace，极小曲面方程，Monge-Ampere方程，可以沿着这个路子走，又一次对我讲了free boundary那个书的一些相关问题。转眼间变到了拖鞋门，我回到了宾馆，想着明天就要回家了，但是不知怎么回事，睡不着觉，既然咱们从几何上看应该没有问题那就应该确实可以了，这给了我一些盲目的信心，于是拿出草稿纸又开始算那个迭代格式，慢慢的，我想，我这会而不讲什么技巧了就硬算，第一次没算下去，写的太乱了，还是回归到最简单的模式，就这样写啊写，一个小时过去了，忽然灵感来了，可以这样交换一下求和次序，写清楚一点，好了，这就是我想要的估计。哗啦啦，很快写好就发过去了。写完后有一种充盈又虚脱的感觉，想去买包烟，找了半天终于找到了。转眼到了4点多了，赶紧睡一会，还有早班飞机要赶啊。回来后也很快想出了一些其他问题。当时和我师兄讲了一下，期间有一个和别人的结果有类似但是还不完全交叉的结果，我总感觉我应该可以做到。但那是似乎一些心烦意乱的事情来了。就把这些事情一拖再拖了。就在前几天又算了一遍，发现真的可以去掉别人的一个条件得到我想要的结果，不过那是初算。今天认真算了一下，还是发现有点小问题，不免觉得有些失望，本来烧了壶水，准备灌了后睡觉，那知道还是睡不着，又用红笔算了一下。哈哈，把这两项一加，消除交叉项，再一迭代结果就出来了。难道你是等着我去发现吗？