二维差分

Posted 2021-02-17 lmcc1108

　　二维差分和一维差分思路上并没有什么区别，具体实现的区别就在于一维的直接对区间两端差分就好了，而二维的多了一维需要处理。

　　差分的思想是和前缀和有关的，一维的前缀和我们都懂求，那么二维的呢？

　　如图

　　因为是从左到右，从上到下的遍历，当要求红色部分，(0,0)到（i,j）处的前缀和时，我们黄色部分和蓝色部分已经是已知的了，而它们重叠的部分就是绿色部分，所以把黄色和蓝色部分的结果加起来，再减去绿色部分，最后加上(i,j)处的值就是（i，j）位置的前缀和了。

　　所以，二维前缀和就是sum[i][j]=a[i][j]+sum[i-1][j]+sum[i][j-1]+sum[i-1][j-1]

　　而我们要求左上角是(x1,y1),右下角是(x2,y2)的矩形区间内的值处理出前缀和后也可以O(1)时间内求出来。

　　如图

　　我们要求紫色部分的值，我们已知的是黄色部分的值，但它多了两个蓝色部分的值，而两个蓝色部分有重叠了个绿色部分

　　所以要求的区间内的值就是sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][x2-1]

二哥种花生

　　中文题，二维前缀和的练手题。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 ll sum[1018][1018]={0};
 6 int main()
 7 {
 8     int n,m,l,w;
 9     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
10     {
11         for(int i=1;i<=n;i++)
12             for(int j=1;j<=m;j++)
13                 scanf("%lld",&sum[i][j]);
14         for(int i=1;i<=n;i++)
15             for(int j=1;j<=m;j++)
16                 sum[i][j]+=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
17         scanf("%d%d",&l,&w);
18         ll ans=0;
19         //题目给的l,w不是说（0,0）到（l,w)的矩形
20         //而是长为l,宽为w的矩形 
21         //枚举左上角 
22         for(int x1=1;x1<=n;x1++)
23             for(int y1=1;y1<=m;y1++)
24             {
25                 int x2=x1+l-1,y2=y1+w-1;
26                 if(x2<=n&&y2<=m)//右下角在范围内 
27                     ans=max(ans,sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1]);
28             }
29         printf("%lld
",ans);
30     }
31     return 0;
32 } 

一维都会了，二维也不难

　　照这样画图的方法我们，也可以得出差分值的放置位置，一维时是在需要更新的位置开始，不需要的位置结束，而二维的也一样。

　　如果我们要在左上角是(x1,y1),右下角是(x2,y2)的矩形区间每个值都+a

　　如图

　　在我们要的区间开始位置（x1,y1）处+a，根据前缀和的性质，那么它影响的就是整个黄色部分，多影响了两个蓝色部分，所以在两个蓝色部分-a消除+a的影响，而两个蓝色部分重叠的绿色部分多受了个-a的影响，所以绿色部分+a消除影响。

　　所以就是dif[x1][y1]+=a,dif[x1][y2+1]-=a,dif[x2+1][y1]-=a,dif[x2+1][y2+1]+=a

HDUOJ6514Monitor

　　这道让我开始学差分的题。。。

　　题目大意：先给出一个n*m的范围，然后给出p个监控矩形的左下角和右上角，最后有q个询问，问给出左下角和右上角的矩形是否完全被监控到。

　　没学差分之前一直想用线段树来维护来做，但很麻烦根本不会做，而学了差分之后，因为p个矩形是已经选给出了，所以我们可以离线处理这些矩形，类似于一维的那道牛客的区间覆盖的问题，我们dif的差分数组可以得出（i,j）这个位置被多少个监控监控到，然后我们让被监控到的点权值为1，然后维护一个被监控到的点数的前缀和，那么询问的矩形要是被监控到的点等于面积，那么就是yes，否则就是no，恶心的地方就在于这题不能开二维数组，需要降维处理。

 1 #include<cstdio>
 2 const int N=13142118;
 3 int dif[N],cov[N];
 4 //cov被监控到的点的前缀和 
 5 int main()
 6 {
 7     int n,m,p,q,x1,y1,x2,y2;
 8     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
 9     {
10         for(int i=0;i<n;i++)
11             for(int j=0;j<m;j++)
12             {
13                 dif[i*m+j]=0;
14                 cov[i*m+j]=0;
15             }
16         scanf("%d",&p);
17         while(p--)
18         {
19             scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
20             x1--,y1--,x2--,y2--;
21             dif[x1*m+y1]++;
22             if(x2+1<n)
23                 dif[(x2+1)*m+y1]--;
24             if(y2+1<m)
25                 dif[x1*m+y2+1]--;
26             if(x2+1<n&&y2+1<m)
27                 dif[(x2+1)*m+(y2+1)]++;
28         }
29         for(int i=0;i<n;i++)
30         {
31             for(int j=0;j<m;j++)
32             {
33                 if(i)
34                     dif[i*m+j]+=dif[(i-1)*m+j];
35                 if(j)
36                     dif[i*m+j]+=dif[i*m+j-1];
37                 if(i&&j)
38                     dif[i*m+j]-=dif[(i-1)*m+j-1];
39                 //如果这个位置有被监控到就是设为1 
40                 if(dif[i*m+j]>=1)
41                     cov[i*m+j]=1;
42                 else
43                     cov[i*m+j]=0;
44                 if(i)
45                     cov[i*m+j]+=cov[(i-1)*m+j];
46                 if(j)
47                     cov[i*m+j]+=cov[i*m+j-1];
48                 if(i&&j)
49                     cov[i*m+j]-=cov[(i-1)*m+j-1];
50             }
51         }
52 //        for(int i=n-1;i>=0;i--)
53 //        {
54 //            for(int j=0;j<m;j++)
55 //                if(dif[i*m+j]>=1)
56 //                    printf("1 ");
57 //                else
58 //                    printf("0 ");
59 //            printf("
");
60 //        }
61         scanf("%d",&q);
62         while(q--)
63         {
64             scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
65             int area=(x2-x1+1)*(y2-y1+1),cova=0;
66             x1--,y1--,x2--,y2--;
67             cova+=cov[x2*m+y2];
68             if(x1-1>=0)
69                 cova-=cov[(x1-1)*m+y2];
70             if(y1-1>=0)
71                 cova-=cov[x2*m+y1-1];
72             if((x1-1)>=0&&(y1-1)>=0)
73                 cova+=cov[(x1-1)*m+(y1-1)];
74         //    printf("%d %d
",area,cova);
75             if(area==cova)
76                 printf("YES
");
77             else
78                 printf("NO
");
79         }
80     }
81     return 0;
82 } 

差分太猛了

NOIAC#71画画鬼才