ST算法详解

Posted 2021-02-17 jelly123

ST算法详解

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这个主要是说ST表的。
首先了解一下ST表是什么。

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先来一个老套的情景带入。
（假设所有的题目都是1s,128ms)
有一天，蒟蒻Jelly_Goat用手（？）
给你出了一套(n<=1000)的数据，然后让你输出(m<=1000)次最小值。
你说了，那不就直接暴力吗？
然后，蒟蒻Jelly不服，又开始用C++出了(n<=10000),(m<=10000)的数据。
你可能开始疑惑了，那我就线段树吧。
蒟蒻Jelly_Goat非得要卡住你，给你又用python3出了一套(n<=200000),(m<=300000)的数据。
你说，我还会树状数组然后卡一卡常就过了。
事实上你最后几个测试点已经TLE的一声哭了出来。
于是Jelly不死心，又来了一套(n<=200000),(m<=1000000)的数据。
你摊一摊手，这可咋整？猫树
于是你发现这个题目，蒟蒻Jelly_Goat并没有在线询问。
于是主角，ST表，登场了。

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定义

ST表，又名稀疏表，是一种静态提供(O(1))询问的数据结构。
但是建立这个数据结构的实质是dp和倍增思想的结合。

ST表的特性：

st[i][j]表示区间([i,i+(2^j)-1])的M(Max or Min)。

然后我们从特性逆推分析：
既然st[i][j]表示的是上面的含义，那么...(st[i][j]=M(st[i][j-1],st[i+2^{j-1}][j-1]))，
即劈成两半的原先的区间(st[i][j-1],st[i+2^{j-1}][j-1])是可以推出st[i][j]的。

于是我们现在会明白，为什么st表是dp实现：
我们从区间长度=0,即只有一个数的区间推到长度为(2^{Log2[n]})的就可以。
然后因为我们是利用了两个加倍到了一个，所以这是倍增思想。
代码已经开源，地址：transport。