关于p-Laplace的想法

Posted 2021-02-17 analysis-pde

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关于p-Laplace的想法

 

对于一类p-laplace方程的问题的想法. 

现在摆在面前的是首先我要考虑的问题是$W^{1,p}$估计对于凸区域上的p-laplace是否成立,或者更广... 这个问题Byun和王,周等人已经大大改进了前人的结果. 其实主要改进的地方在于边界的假设条件更加广泛了, 而内部的问题早就由Caffarelli等人得到了(1997).  我们想推广前人的结果, 不知道Jia 老师是否也在考虑......

还有就是考虑在凸区域上的p-laplace的边界可微分性质.  一般的如果考虑在整体的$C^{1,alpha}$区域, G.M.Lieberman在1988年得到了边界的 $C^{1,alpha}$ 估计. 而Lin fanghua 在同一时间也得到了 p-harmonic 方程的边界$C^{1,alpha}$估计, 此处我估计Lin 使用的边界条件是 $C^{2}$的假设. 现在看起来我们想做这个结论应该在$1<p<2$的时候应该是正确的, 至少在$n=2$ 的事情  W.B.Liu (刘文斌)等人已经得到了全局的$W^{2,2}$估计, 同时把方程写成非散度型时, 类似使用Nirenberg等人的结果, 这个应该是P.Grisvard得到的. 在区域是凸的折线区域时, 得到了$C^{1,alpha}$估计, 这个和我们要的结论已经很接近了. 我们想试着去推广它.... 对于$2<p$ 的情况, 对凸区域或者凸折线区域, 我们猜测的结果有可能是不对的, 所以觉得很奇怪, 似乎在Tarkhoff 的文章1983引言中已经有许多提示, 事实上, 就在于二维凸锥的开口如果是和180度相差很近的时候, $p>2$时会不会有$C^{1,alpha}$的结论?未知啊....估计还是得看闸函数是什么样子的, 不过计算有些繁琐.....

另外, 如果考虑使用Lin fanghua 的方法(Preprint), 这里有个问题, 他使用wanglihe 和Krylov 的方法时候到底有没有假定边界是$C^{2}$的, 我猜是有这个假定的. 因为对于逼近p-harmonic的方程在主项系数中含有$Du$这一项,  如果在凸区域上研究的话, 这里总觉得有些暂时没法跨越的鸿沟. 那么没有这一条件的话, 估计Li和Wang的那套方法还暂时没法使用... 这里就需要当边界为一般凸时, 自己再对Quasi Linear Elliptic Equation的边界估计做些研究,  这应该是之前的人没有研究过的....