动态规划

Posted 2021-02-17 pacino12134

分阶段求解问题。

最优子结构

状态转移公式

最优子结构

一、建模

有一座高度是10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法。

比如，每次走1级台阶，一共走10步，这是其中一种走法。我们可以简写成 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1。

再比如，每次走2级台阶，一共走5步，这是另一种走法。我们可以简写成 2,2,2,2,2。

当然，除此之外，还有很多很多种走法。

动态规划解决方法分析：

假设只差一步走到最后第10级台阶，会出现几种情况？ ---------------> 最优子结构

两种：1、9级到10级，只剩一个阶梯

　　    2、8级到10级，只剩两个阶梯

如果0到8级台阶的走法有X种，0到9级台阶的走法有Y种，则0到10级的台阶有X+Y种。

结论：

F(10) = F(8) + F(9)

同样：

F(9) = F(8) + F(7)

.............（正在把复杂问题分阶段进行简化，逐步简化成一个简单的问题，这就是动态规划）

当只有1级台阶或只有两级台阶的时候：     ------------------> 边界

F(1) = 1　　

F(2) = 2

F(n) = F(n-1) + F(n-2)   n>=3　　------------->状态转移公式

二、求解

方法一：递归

缺点：

要计算F(n)，就要知道 F(n-1) 和 F(n-2)的值........

可以发现有很多重复计算了。

对于这些重复的计算的，可以用备忘录算法暂存一下。当每次需要计算F(N)的时候，会首先从map中寻找匹配元素。如果map中存在，就直接返回结果，如果map中不存在，就计算出结果，存入备忘录中。从F(1)到F(N)一共有N中不同的输入，在哈西表里存N-2个结果，时间复杂度和空间复杂度都是O(N)

方法二：自底向上，迭代推导出结果

可以发现，每次迭代过程中，只保留之前的的两个状态就行了，不需要像备忘录算法一样保留所有的子状态。

时间复杂度O(N)，空间复杂度O(1)

 

题目二：国王和金矿

有一个国家发现了5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人数也不同。参与挖矿工人的总数是10人。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金矿。要求用程序求解出，要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿？

一、最优子结构

如果第5个金矿选择挖，会占用掉一部人工人，前四个金矿工人=10 - 第5个金矿所需人数 = 10 -3 = 7；

如果第5个金矿不挖，那么就是10人4金矿时的最优选择。

二、找到最优子结构，分析最优子结构和最终问题的关系

5个金矿的最优选择就是 （10人4金矿挖金的数量） 和 （前4金矿7人的挖金数量+第5金矿的挖金数量） 的最大值喽。

金矿数量 ： N

工人总数： W

金矿黄金量设为数组：G[ ]

金矿用工人量数组：P[ ]

则：F[5,10] = MAX(  F[4,10] ，F[ 4,10-P[4] ]  )

三、边界

只有一座金矿。

如果给定的工人不够挖第一座金矿，W<P[0]，得到的黄金量就是0；

如果给定的工人够挖第一座金矿，W>=P[0]，得到的黄金量就是G[0]

四、综合得到状态转移方程

F(n,w) = 0    (n<=1, w<p[0]);

F(n,w) = g[0]     (n==1, w>=p[0]);

F(n,w) = F(n-1,w)    (n>1, w<p[n-1])  

F(n,w) = max (   F(n-1,w)    ,    F(n-1,w-p[n-1])    +    g[n-1]   )    (n>1, w>=p[n-1])

实现方法：

方法一、递归

时间复杂度是O(2^n)

方法二、备忘录算法

除了第一行，每个格子都是前一行的一个或者两个格子推到过来的。

所以使用程序实现的时候，也可以从左到右，从上到下一格一格推到出来。

所以并不需要存储整个表格，只需要存前一行的结果，就可以推导出新的一行。

方法利用两层迭代，来逐步推导出最终结果。在外层的每一次迭代，也就是对表格每一行的迭代过程中，都会保留上一行的结果数组 preResults，并循环计算当前行的结果数组results。

方法的时间复杂度是 O(n * w)，空间复杂度是(w)。需要注意的是，当金矿只有5座的时候，动态规划的性能优势还没有体现出来。当金矿有10座，甚至更多的时候，动态规划就明显具备了优势。

注意：

把题目改变一下，如果总工人数变成1000，每个金矿的用工数量也增加，这个时候使用动态规划的时间复杂度是O(n*w = 5x1000=5000)，开辟出1000个单位的空间；而简单递归时间复杂度是O(2^5=32)，开辟5单位的空间。

此时动态规划的性能反而不如