拜托，面试别再问我堆（排序）了！

Posted 2021-02-17 tong-yuan

何为堆？

堆是一种特殊的树，只要满足下面两个条件，它就是一个堆：

（1）堆是一颗完全二叉树；

（2）堆中某个节点的值总是不大于（或不小于）其父节点的值。

其中，我们把根节点最大的堆叫做大顶堆，根节点最小的堆叫做小顶堆。

堆详解

满二叉树

满二叉树是指所有层都达到最大节点数的二叉树。比如，下面这颗树：

完全二叉树

完全二叉树是指除了最后一层其它层都达到最大节点数，且最后一层节点都靠左排列。比如，下面这颗树：

可见，其实满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

那么，使用什么结构存储完全二叉树最节省空间呢？

我们可以看见，完全二叉树的节点都是比较紧凑的，且只有最后一层是不满的，所以使用数组是最节省空间的，比如上面这颗完全二叉树我们可以这样存储。

我们下标为0的位置不存储元素，从下标为1的位置开始存储元素，每层依次从左往右放到数组里来存储。

为什么下标0的位置不存在元素呢？

这是因为这样存储我们可以很方便地找到父节点，比如，4的父节点即4/2=2，5的父节点即5/2=2。

堆

堆也是一颗完全二叉树，但是它的元素必须满足每个节点的值都不大于（或不小于）其父节点的值。比如下面这个堆：

前面我们说过完全二叉树适合使用数组来存储，那上面这个堆应该怎么存储呢？

同样地，我们下标为0的位置不存在元素，最后就变成下面这样。

这时候我们要找8的父节点就拿8的位置下标5/2=2，也就是5这个节点的位置，这也是为了我们后面堆化。

插入元素

往堆中插入一个元素后，我们需要继续满足堆的两个特性，即：

（1）堆是一颗完全二叉树；

（2）堆中某个节点的值总是不大于（或不小于）其父节点的值。

为了满足条件（1），所以我们把元素插入到最后一层最后一个节点往后一位的位置，但是插入之后可能不再满足条件（2）了，所以这时候我们需要堆化。

比如，上面那个堆我们需要插入元素2，我们把它放在9后面，这时不满足条件（2）了，我们就需要堆化。（这是一个小顶堆）

将完全二叉树和数组对照着来看。

在完全二叉树中，插入的节点与它的父节点相比，如果比父节点小，就交换它们的位置，再往上和父节点相比，如果比父节点小，再交换位置，直到比父节点大为止。

在数组中，插入的节点与n/2位置的节点相比，如果比n/2位置的节点小，就交换它们的位置，再往前与n/4位置的节点相比，如果比n/4位置的节点小，再交换位置，直到比n/(2^x)位置的节点大为止。

这就是插入元素时进行的堆化，也叫自下而上的堆化。

从插入元素的过程，我们知道每次与n/(2^x)的位置进行比较，所以，插入元素的时间复杂度为O(log n)。

删除堆顶元素

我们知道，在小顶堆中堆顶存储的是最小的元素，这时候我们把它删除会怎样呢？

删除了堆顶元素后，要使得还满足堆的两个特性，首先，我们可以把最后一个元素移到根节点的位置，这时候就满足条件（1），之后就是使它满足条件（2），就需要堆化了。

将完全二叉树和数组对照着来看。

在完全二叉树中，把最后一个节点放到堆顶，然后与左右子节点中小的交换位置（因为是小顶堆），依次往下，直到其比左右子节点都小为止。

在数组中，把最后一个元素移到下标为1的位置，然后与下标为2和3的位置对比，发现8比2大，且2是2和3中间最小的，所以与2交换位置；然后再下标为4和5的位置对比，发现8比5大，且5是5和7中最小的，所以与5交换位置，没有左右子节点了，堆化结束。

这就是删除元素时进行的堆化，也叫自上而下的堆化。

从删除元素的过程，我们知道把最后一个元素拿到根节点后，每次与2n和(2n+1)位置的元素比较，取其小者，所以，删除元素的时间复杂度也为O(log n)。

建堆

假定给定一组乱序的数组，我们该怎么建堆呢？

如下图所示，我们模拟依次往堆中添加元素。

（1）插入6这个元素，只有一个，不需要比较；

（2）插入8这个元素，比6大，不需要交换；

（3）插入3这个元素，比下标3/2=1的位置上的元素6小，交换位置；

（4）插入2这个元素，比下标4/2=2的位置上的元素8小，交换位置，比下标2/2=1的位置上的元素3小，交换位置；

（5）...

（10）最后，全部插入完成，即完成了建堆的过程。

我们知道，完全二叉树的高度h=log n，且第h层有1个元素，第(h-1)层有2个元素，第(h-2)层有2^2个元素，...，第1层有2^(h-1)个元素。

其实，建堆的整个过程中一个节点的比较次数是与它的高度k成正比的，比如，上图中的1这个元素，它也是从最后一层依次比较了3次（高度h=4），才到达了现在的位置。

所以，我们可以得出第h层的元素有1个，它最多需要比较(h-1)次；第(h-1)层有2个元素，它们最多比较(h-2)次；第(h-2)层有2^2个元素，它们最多比较(h-3)次；...；第1层有2^(h-1)个元素，它们最多比较0次。

因而，总和就如下图：

所以，建堆的时间复杂度就是O(n)。

堆排序

我们知道，对于小顶堆，堆顶存储的元素就是最小的。

那么，我们删除堆顶元素，堆化，第二小的跑堆顶了，再删除，再堆化，...，这些删除的元素是不是正好有序的？

当然是的，所以堆排序的过程就很简单了。

我们直接把堆顶的元素与第n个元素交换位置，再把前(n-1)个元素堆化，再把堆顶元素与第(n-1)个元素交换位置，再把前(n-2)个元素堆化，..，，进行下去，最后，数组中的元素就整个变成倒序的了，也就排序完了。

我们知道删除一个元素的时间复杂度是O(log n)，那么删除n个元素正好是：

log n + log(n-1) + log(n-2) + log 1

这个公式约等于nlog n，所以堆排序的时间复杂度为O(nlog n)。

而且，这样排序不需要占用额外的空间，只需要交换元素的需要一个临时变量，所以堆排序的空间复杂度为O(1)?。?

总结

（1）堆是一颗完全二叉树；

（2）小（大）顶堆中的每一个节点都不小于（不大于）它的父节点；

（3）堆的插入、删除元素的时间复杂度都是O(log n)；

（4）建堆的时间复杂度是O(n)；

（5）堆排序的时间复杂度是O(nlog n)；

（6）堆排序的空间复杂度是O(1)?；?

彩蛋

堆都有哪些应用呢？

其实，堆除了堆排序以外，还有很多其它的用途，比如求中位数，99%位数，定时任务等。

比如，求中位数的大致思路，是分别建立一个大顶堆和一个小顶堆，然后往这两个堆中放元素，当其中一个堆的元素个数比另外一个多2时，就平衡一下，这样所有元素都放完之后，两个堆顶的元素之一（或之二）就是中位数。

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