题解吉哥系列故事——恨7不成妻

Posted 2021-02-17 jcnl666

(Description:)

给出区间 ([L,R]) 求出区间中所有满足没有 (7) 这个数并且这个数不会被 (7) 整除，同时这个数各位上的和不能被 (7) 整除。求 ([L,R]) 的区间中满足这些条件的数的平方和。

(Sample) (Input:)

3
1 9
10 11
17 17

(Sample) (Output:)

236
221
0

(Solution:)

这题老好玩了，坑了我一个早上，发现他要咱们求得是平方和。

好像不可做的样子，看了看题解，其实也没有想象的那么难写。

但是我们要把一些别的推导出平方和的东西记录下来。

考虑已经求出了后面的几位数的数字，是 (f_i)

那么当前这个数是 (x)

那么平方和为

(sum_{i=1}^{n}(x+f_i)^2=sum_{i=1}^{n}(x^2+2*f_i*x+(f_i)^2))

拆除 (sigma)

(sum=n*x^2+2*x*sum_{i=1}^{n}f_i+sum(f_i)^2)

那么我们只要记录

当前后几位组成的数有几个 ：(cnt) ，

后面几个数的和 (sum) ，

上一次的平方和 (sqr)，

那么就可以转移了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,T;
const int N=25,M=10,p=1e9+7;
int a[N];
int digit[N];
struct node{
    int cnt;
    int sum;
    int sqr;
    bool exist;
    inline void clear() {
        cnt=sum=sqr=0;
        exist=false;
    }
}c,b,f[N][M][M];
inline node dfs(int len,int res,int sum,bool limit){
    if(len<=0) {
        node tmp;tmp.clear();
        if(res && sum){
            tmp.cnt=1;
            return tmp;
        }
        return tmp; 
    }
    if(!limit && f[len][res][sum].exist) return f[len][res][sum];
    node ret;ret.clear();
    
    int up_bound=(limit)?digit[len]:9;
    
    for(int i=0;i<=up_bound;++i){
        if(i==7) continue;
        node x; x.clear();
        int tmp=(a[len-1]*i)%p;
        x=dfs(len-1,(res+i)%7,(sum*10+i)%7,limit && (i==up_bound));
        ret.cnt+=x.cnt;
        ret.cnt%=p;
        
        ret.sum+=(x.sum+(tmp*x.cnt)%p)%p;
        ret.sum%=p;
        
        ret.sqr+=((x.cnt*tmp)%p*tmp)%p;
        ret.sqr%=p;
        ret.sqr+=((2*tmp)%p*x.sum)%p;
        ret.sqr%=p;
        ret.sqr+=x.sqr;
        ret.sqr%=p;
    }
    if(!limit) f[len][res][sum]=ret,f[len][res][sum].exist=true;
    return ret;
}
inline node solve(int x){
    int cnt=0;
    memset(f,0,sizeof(f));
    while(x){
        digit[++cnt]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(cnt,0,0,true);
}
signed main(){
    a[0]=1;
    for(int i=1;i<=20;++i) a[i]=(a[i-1]*10)%p;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        int l=0,r=0;
        scanf("%lld%lld",&l,&r);
        c=solve(r);
        b=solve(l-1);
        printf("%lld
",((c.sqr-b.sqr)%p+p)%p);
    }
    return 0;
}