RMQ（求区间最值问题）

Posted 2021-02-16 caijiaming

学习博客：https://blog.csdn.net/qq_31759205/article/details/75008659

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干次询问RMQ(i,j)，返回数列A中下标在区间[i,j]中的最小/大值。

本文介绍一种比较高效的ST算法解决这个问题。ST（Sparse Table）算法可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

第一步：预处理

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

我们把F[i,j]分为两段，第一段为 i~i+2^(j-1)-1   第二段为 i+2^(j-1)~i+2^j-1  （长度都为2^(j-1)  ） 于是我们得到了状态转移方程：f[i,j]=max(f[i,j-1],f[i+2^(j-1),j-1] )。

2)查询

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询1，2，3，4，5，我们可以查询1234和2345）。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[1，5]的最大值，k = log2（5 - 1 + 1）= 2，即求max(F[1, 2]，F[5 - 2 ^ 2 + 1, 2])=max(F[1, 2]，F[2, 2])；

看代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1e5+50;
int a[maxn];
int dp[maxn][30];
void ST(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][0]=a[i];//初始化
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)//2^j
    {
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)//
        {
            dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
    return ;
}
int RMQ(int l,int r)
{
    int k=log(r-l+1);
    return max(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int n;//长度为n的区间
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    ST(n);
    int l,r;//查询的区间
    cin>>l>>r;
    cout<<RMQ(l,r)<<endl;
    return 0;
}