MT328向量里的最佳逼近

Posted 2021-02-16 mathstudy

已知平面向量$overrightarrow {a},overrightarrow {b}$满足$|overrightarrow {a}|=4,|overrightarrow {b}|=2$.
若对于任意共面的单位向量$overrightarrow {e},$记$|overrightarrow {a}cdotoverrightarrow {e}|+|overrightarrow {b}cdotoverrightarrow {e}|$的最大值为$M$求$M$的最小值.

分析:$|overrightarrow {a}cdotoverrightarrow {e}|+|overrightarrow {b}cdotoverrightarrow {e}|=max{|(overrightarrow {a}+overrightarrow {b})cdotoverrightarrow {e}|,|(overrightarrow {a}-overrightarrow {b})cdotoverrightarrow {e}|}$
故对于任意$overrightarrow {e}$,$M=max{|overrightarrow {a}+overrightarrow {b}|,|overrightarrow {a}-overrightarrow {b}|}$,即
$M^2ge|overrightarrow {a}+overrightarrow {b}|^2$ ; $M^2ge|overrightarrow {a}-overrightarrow {b}|^2$
故$2M^2ge|overrightarrow {a}+overrightarrow {b}|^2+|overrightarrow {a}-overrightarrow {b}|^2=2(a^2+b^2)=40$
即$Mge 2sqrt{5}$,当$overrightarrow {a}perp overrightarrow {b}$时取到.