CF960G(第一类斯特林数)

Posted 2021-02-16 y2823774827y

设(f(i,j))为(i)个数的序列，有(j)个前缀最大值的方案数

我们考虑每次添一个最小数，则有：(f(i,j)=f(i-1,j)+(i-1)*f(i-1,j-1))，显然这是第一类斯特林数

从而我们得到一个朴素的答案：[Ans=sumlimits_{i=1}^{n}f_{i,a-1}×f_{n-1-i,b-1}×C_{n-1}^i]

理解：枚举(i+1)为最大值添的位置，则已经限制了前缀最大值个数及后缀最大值个数，然后再乘上前半部分所填的数

观察(f_{i,a-1}×f_{n-1-i,b-1})，发现第一维和唯一：[Ans=egin{bmatrix}n-1\a+b-2end{bmatrix}C_{a+b-2}^{a-1}]