Luogu P4204 神奇口袋 题解报告

Posted 2021-02-16 thwzf

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【题目大意】

一个口袋里装了t种颜色的球，第i种颜色的球的数目为ai，每次随机抽一个小球，然后再放d个这种颜色的小球进口袋。

给出n个要求，第x个抽出的球颜色为y，求满足条件的概率。

【思路分析】

抽出一个球颜色为i的概率设为f[i]，球的总数为sum

在第k步时，$f[i]=frac{a[i]}{sum}$

那么在k+1步就有两种情况：

1.第k步抽中了颜色为i的球，那么此时概率为$frac{a[i]}{sum}*frac{a[i]+d}{sum+d}$

2.第k步没有抽中，那么此时概率为$(1-frac{a[i]}{sum})*frac{a[i]}{sum+d}$

所以第k+1步时,$f[i]=(1-frac{a[i]}{sum})*frac{a[i]}{sum+d}+frac{a[i]}{sum}*frac{a[i]+d}{sum+d}=frac{a[i]*(sum-a[i]+a[i]+d)}{sum*(sum+d)}=frac{a[i]}{sum}$

由此可得，在任意时刻抽到某一种颜色的小球的概率是不变的，始终为$frac{a[i]}{sum}$

如果这道题没有条件的话，到这里就可以完美解决了，但是我们还要考虑题目的条件。

这里有一个结论：要求中某一步要取的颜色出现的顺序对概率并没有影响。

假设现在的两个要求中的小球颜色分别为i，j

1.若i在前，概率$P1=frac{a[i]}{sum}*frac{a[j]}{sum+d}$

2.若j在前，概率$P2=frac{a[j]}{sum}*frac{a[i]}{sum+d}$

显然，$P1=P2=frac{a[i]*a[j]}{sum*(sum+d)}$,得证。

【代码实现】

先咕着，等下来写