『基础同余和费马小定理』

Posted 2021-02-16 parsnip

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了『基础同余和费马小定理』相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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同余

同余是数论中一个重要的概念，若整数(a)与整数(b)除以正整数(m)的余数相等，则称(a)，(b)再模(m)意义下同余，记为(aequiv b(mod m))或(m|(a-b))。

同余基础性质

(1.)(a≡a (mod m))，自反性

(2.)若(a≡b (mod m))，则(b≡a (mod m))，对称性

(3.)若(a≡b (mod m))，(b≡c (mod m))，则(a≡c (mod m))，传递性

(4.)若(a≡b (mod m))，(c≡d (mod m))，则(a±c≡b±d (mod m))，(ac≡bd (mod m)) ，同加性，同乘性

(5.)若(n|m)，(a≡b (mod m))，则(a≡b (mod n))

(6.)若((m,n)=1)，(a≡b (mod m))，(a≡b (mod n))，则(a≡b (mod mn))

(7.)若(a≡b (mod m))，(n∈N^*)，则(an≡bn (mod m)) 同幂性

(8.)若(ac≡bc (mod m))，((c,m)=d)，则(a≡b (mod frac{m}{d} ))

这些基础性质在许多推导，证明等过程中都有作用，请读者务必牢记。

同余类和剩余系

对于(forall ain[0,m-1])，集合({a+km}(kin Z))的所有数模(m)同余，余数都是(a)，称该集合为模(m)的一个同余类，记为(overline{a})。

显然，模(m)同余类有(m)个，分别为(overline{1},overline{2},...,overline{m-1})。它们构成(m)的完全剩余系，简称完系。

(1-m)中与(m)互质的数代表的剩余系共有(phi(m))个，它们构成(m)的化简剩余系，简称缩系。例如，模(10)的缩系为({overline{1},overline{3},overline{7},overline{9}})。

化简剩余系关于模(m)乘法封闭。对于任意的(a,b)与(m)互质，(a*b)与(m)显然也互质，则(a*b mod m)也与(m)互质，那么(a*b mod m)也是(m)化简剩余系中的一个同余类。

费马小定理

费马小定理是有关同余的一个重要数论定理，其描述如下：

若(p)为质数，则对于任意整数(a)，有(a^pequiv a(mod p))。

我们将通过证明欧拉定理来进一步理解费马小定理。

欧拉定理

若正整数(a,n)互质，则(a^{phi(n)}equiv 1(mod n))，(phi(n))为欧拉函数。

证明：

设(n)的化简剩余系为({overline{a_1},...,overline{a_{phi(n)}}})，对于(forall a_i,a_j)，(a_i ot =a_j)时，(aa_i)，(aa_j)代表不同的同余类。

反证法，若(aa_iequiv aa_j(mod n))，则(a(a_i-a_j)equiv 0(mod n))，由于(gcd(a,n)=1)，所以(a_i-a_jequiv 0(mod n))，(a_iequiv a_j(mod n))，与(a_i ot =a_j)矛盾。

又因为化简剩余系满足乘法封闭，故({overline{aa_1},...,overline{aa_{phi(n)}}})也能表示(n)的化简剩余系，所以：
[a^{phi(n)}a_1a_2...a_{phi(n)}equiv (aa_1)(aa_2)...(aa_{phi(n)})equiv a_1a_2...a_{phi(n)}(mod n)]
故(a^{phi(n)}equiv 1(mod n))。

当(n)为质数时，(phi(n)=n-1)，故费马小定理时欧拉定理的一个特殊情况。