Codeforces 939E Maximize! (三分 || 尺取)

Posted 2021-02-16 00isok

<题目链接>

题目大意：
给定一段序列，每次进行两次操作，输入1 x代表插入x元素(x元素一定大于等于之前的所有元素)，或者输入2，表示输出这个序列的任意子集$s$,使得$max(s)-mean(s)$表示这个集合的最大值与平均值的最大差值。

解题分析：
首先，因为输入的$x$是非递减的，所以要使$max(s)-mean(s)$最大，肯定$max(s)$就是最后一个输入元素的大小。$x$已经确定了，现在就是尽可能的使$mean(s)$尽可能的小。如何使得平均值最小呢？肯定是从最前面的最小的元素开始选，因为最后一个元素是一定要选的(选做最大的元素)，所以$mean(s)$函数必然是一个下凹的函数(在开始选小的元素时，平均值会被慢慢的拉低(因为一开始只有一个最大的元素)，选到后面比较大的元素时，平均值又会逐渐上升)。所以我们可以用三分寻找max(s)-mean(s)函数的峰值。同时本题也可以用尺取来做，也是用来寻找峰值。

 

三分：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 5e5+5;
ll sum[N];

template<typename T>
inline void read(T&x){
    x=0;int f=1;char c=getchar();
    while(c<‘0‘ || c>‘9‘){ if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar(); }
    while(c>=‘0‘ && c<=‘9‘){ x=x*10+c-‘0‘;c=getchar(); }
    x*=f;
}
inline double cal(int loc,int x){
    return (double)(sum[loc]+x)/(loc+1);
}
int main(){
    int q;read(q);
    int op,x,cnt=0;
    while(q--){
        read(op);
        if(op==1){
            read(x);
            sum[++cnt]=sum[cnt-1]+x;
        }else{
            //对前cnt-1个元素进行三分
            int l=1,r=cnt-1;
            while(l<r){
                int m1=(l+l+r)/3,m2=(l+r+r)/3;
                if(cal(m1,x)>=cal(m2,x)){
                    if(l==m1)break;
                    l=m1;
                }else{
                    if(r==m2)break;
                    r=m2;
                }
            }
            double ans=(double)(sum[l]+x)*1.0/(l+1);
            for(int i=l;i<=r;i++)ans=min(ans,(double)(sum[i]+x)/(i+1));     //因为最后[l,r]之间可能不只有一个元素 
            printf("%.10lf
",x-ans);
        }
    }
}

View Code

 

尺取：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 5e5+5;
ll sum[N];

template<typename T>
inline void read(T&x){
    x=0;int f=1;char c=getchar();
    while(c<‘0‘ || c>‘9‘){ if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar(); }
    while(c>=‘0‘ && c<=‘9‘){ x=x*10+c-‘0‘;c=getchar(); }
    x*=f;
}
inline double cal(int loc,int x){
    return (double)(sum[loc]+x)/(loc+1);
} 
int main(){
    int q;read(q);
    int op,x,cnt=0,top=0;
    while(q--){
        read(op);
        if(op==1){
            read(x);
            sum[++cnt]=sum[cnt-1]+x;
        }else{
            while(top<cnt){
                if(cal(top+1,x)<cal(top,x))top++;
                else break;
            }
            printf("%.10lf
",x-cal(top,x));
        }
    }
}

View Code