P4577 [FJOI2018]领导集团问题

Posted 2021-02-15 lltyyc

传送门

语文题，要读懂题意...

题目中的双亲节点就是父节点的意思，那么一号节点就一定为根

部门的意思是有边直接相连的子图

求的是 最大的部门节点子集 ，意思是对于所有部门，在所有部门选出一些子集，使得子集大小加起来最大，并且加起来的子集中的节点满足对于任意祖先后代节点，祖先的节点值小于等于后代的节点值

对于每一个节点，开一个从小到大的集合 $S[x]$

设 $S[x]$ 的大小为 $T$，那么对于 $S[x]$ 从左到右，从小到大的第 $i$ 个数，它表示在 $x$ 的子树中最优选出 $T-i+1$ 个节点的集合中最小的节点值的最大值

或者为了方便理解把数从右到左看也行，从大到小的第 $i$ 个数就是它表示在 $x$ 的子树中最优选出 $i$ 个节点的集合中最小的节点值的最大值

为了方便代码，集合是从小到大的

显然，$T$ 就相当于节点 $x$ 的子树中的 最大部门节点子集 的集合大小，

理解这些后考虑用儿子的 $S[v]$ 维护 $S[x]$

考虑两个儿子合并的情况，因为儿子之间不存在祖先后代关系，所以可以直接贪心全部合并进来，合并后的 $S[x]$ 同样满足我们对 $S$ 的定义

儿子合并完后考虑本身的值 $val[x]$ 加入 $S[x]$ 中

因为 $x$ 是它子树中所有节点的祖先，又要保证 $S[x]$ 的定义正确

设 $t$ 为原本集合里第一个小于 $val[x]$ 的位置，为了维护 $S[x]$ 的定义显然我们要把 $S[x][t]$ 替换成 $val[x]$

（不然对于 $S[x][t]$ 对应的集合，我们显然可以把那个值为 $S[x][t]$ 的节点换成 $x$，使 $S[x][t]$ 更大）

这样首先 $S[x][t]$ 右边的值的定义显然受不会影响， 且$S[x][t]$ 就被修改成正确的定义

对于左边的值，显然我们加入 $x$ 最多只能替换集合的一个节点，且 $x$ 加入后所有小于 $val[x]$ 的节点都不能考虑

所以如果我们要替换 $S[x][i] (i<t)$ 对应的集合中一个值为 $S[x][i]$ 的节点，我们必须还要先替换掉所有其他值为 $S[x][k] (kin [i+1,t])$ 的节点（比如之前的 $S[x][t]$），所以不能替换，所以左边的值不会改变

然后一波 $dfs$ 加启发式合并就好了

复杂度 $O(nlog^2_n)$，代码非常简单

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<set>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘) { if(ch==‘-‘) f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=2e5+7;
int n,val[N];
multiset <int> S[N];
multiset <int>::iterator it;
vector <int> v[N];
inline void merge(int x,int y)
{
    if(S[x].size()<S[y].size()) swap(S[x],S[y]);
    for(it=S[y].begin();it!=S[y].end();it++) S[x].insert(*it);
}
void dfs(int x)
{
    for(int i=v[x].size()-1;i>=0;i--) dfs(v[x][i]),merge(x,v[x][i]);
    S[x].insert(val[x]);
    it=S[x].lower_bound(val[x]);
    if(it!=S[x].begin()) S[x].erase(--it);
}
int main()
{
    n=read(); int a;
    for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=read();
    for(int i=2;i<=n;i++)
        a=read(),v[a].push_back(i);
    dfs(1);
    printf("%d",S[1].size());
    return 0;
}