同余方程

Posted 2021-02-15 zuiaimiusi

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1082

同余方程是一个数学方程式。该方程式的内容为：对于一组整数Z，Z里的每一个数都除以同一个数m，得到的余数可以为0，1，2，...m-1,共m种。我们就以余数的大小作为标准将Z分为m类。每一类都有相同的余数。

题目描述

求关于x xx的同余方程 ax≡1(mod b) a x equiv 1 pmod {b}ax≡1(modb) 的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式：

 

一行，包含两个正整数 a,ba,ba,b，用一个空格隔开。

 

输出格式：

 

一个正整数 x0x_0x0?，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 10

输出样例#1： 复制

7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据，2≤b≤1,0002 ≤b≤ 1,0002≤b≤1,000；

对于 60%的数据，2≤b≤50,000,0002 ≤b≤ 50,000,0002≤b≤50,000,000；

对于 100%的数据，2≤a,b≤2,000,000,0002 ≤a, b≤ 2,000,000,0002≤a,b≤2,000,000,000。

 

 

思路：

ax≡1(mod b), ax%b==1%b,1%b==1,

即 ax%b==1，

ax-1=by 即求ax-by=1的最小整数解。

因为a和b互质，所以a和-b也互质，所以它们的最大公约数为1，

所以可以通过扩展欧几里得来求解【存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by】存在x,y,使得gcd(a,-b)=ax+(-b)y=1。

通过扩展欧几里得求得的解可能是正数也可能是负数，而题中要求求出最小的整数解，

所以对求出的x要加以判断，

当x<0要不断+b 使其大于0（小于0便不是正整数解），

当x>b要%b 使其小于b（大于b便不是最小的解）,

当x>0&&x<b即为所求出的结果。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int a,b,x,y,gcd;
 4 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 5 {
 6     if(b==0)
 7     {
 8         x=1;
 9         y=0;
10         return a;
11     }
12     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
13     int t=x;
14     x=y;
15     y=t-a/b*y;
16     return r;
17 }
18 int main()
19 {
20     cin>>a>>b;
21     int x=0,y=0;
22     gcd=exgcd(a,b,x,y);
23     while(x<0)x+=b;
24     while(x>b)x%=b;
25     cout<<x<<endl;
26     return 0;
27 }