同余方程

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了同余方程相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1082

同余方程是一个数学方程式。该方程式的内容为:对于一组整数Z,Z里的每一个数都除以同一个数m,得到的余数可以为0,1,2,...m-1,共m种。我们就以余数的大小作为标准将Z分为m类。每一类都有相同的余数。

题目描述

求关于x xx的同余方程 ax≡1(mod b) a x equiv 1 pmod {b}ax1(modb) 的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式:

 

一行,包含两个正整数 a,ba,ba,b,用一个空格隔开。

 

输出格式:

 

一个正整数 x0x_0x0?,即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

 

输入输出样例

输入样例#1: 复制
3 10
输出样例#1: 复制
7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据,2≤b≤1,0002 ≤b≤ 1,0002b1,000;

对于 60%的数据,2≤b≤50,000,0002 ≤b≤ 50,000,0002b50,000,000;

对于 100%的数据,2≤a,b≤2,000,000,0002 ≤a, b≤ 2,000,000,0002a,b2,000,000,000。

 

 

思路:

ax≡1(mod b), ax%b==1%b,1%b==1,

即 ax%b==1,

ax-1=by 即求ax-by=1的最小整数解。

因为a和b互质,所以a和-b也互质,所以它们的最大公约数为1,

所以可以通过扩展欧几里得来求解【存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by】存在x,y,使得gcd(a,-b)=ax+(-b)y=1。

通过扩展欧几里得求得的解可能是正数也可能是负数,而题中要求求出最小的整数解,

所以对求出的x要加以判断,

当x<0要不断+b 使其大于0(小于0便不是正整数解),

当x>b要%b 使其小于b(大于b便不是最小的解),

当x>0&&x<b即为所求出的结果。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int a,b,x,y,gcd;
 4 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 5 {
 6     if(b==0)
 7     {
 8         x=1;
 9         y=0;
10         return a;
11     }
12     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
13     int t=x;
14     x=y;
15     y=t-a/b*y;
16     return r;
17 }
18 int main()
19 {
20     cin>>a>>b;
21     int x=0,y=0;
22     gcd=exgcd(a,b,x,y);
23     while(x<0)x+=b;
24     while(x>b)x%=b;
25     cout<<x<<endl;
26     return 0;
27 }

 

以上是关于同余方程的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

『线性同余方程和中国剩余定理』

HDU-1573-X问题(线性同余方程组)

解一元同余方程组

线性同余方程组

poj2891同余方程组

线性同余方程的求解