题解 CF718C Sasha and Array

Posted 2021-02-15 jcnl666

(Description:)

设计一个数据结构，支持区间加，区间求斐波那契和，比如求(sum_{i=l}^{r} f(a_i))

(Sample) (Input:)

5 4
1 1 2 1 1
2 1 5
1 2 4 2
2 2 4
2 1 5

(Sample) (Output:)

5
7
9

考虑想段树上每个节点维护一个矩阵，因为矩阵满足结合律：
(a*c+b*c=(a+b)*c)

但由于幂运算不满足结合律，那么就不能直接在线段树的懒标记里面存幂次，要存一个矩阵，每次修改的时候乘一下。

但还有一个要考虑的：

如果普通斐波那契的话,矩阵快速幂的时候是原矩阵是(f[n-1],f[n-2]=>1,1)，但这里面如果原矩阵为这个就没办法询问到(f[1])

其他的话只要注意下传懒标记之后吧懒标记变为单位矩阵就行了。

哦，还有要开long long

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m;
const int N=1e5,p=1e9+7;
int a[N+3];
struct matrix {
    int a[3][3];
    inline void set  (int x) { for(int i=1;i<=x;++i) a[i][i]=1;}
    inline void clear() { memset(a,0,sizeof(a));}
    inline bool operator != (const matrix &nt) const {
        for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j)
        
    }
    inline matrix operator  + (const matrix &nt) const {
        matrix tmp;tmp.clear();
        for(int i=1;i<=2;++i) for(int j=1;j<=2;++j)
            tmp.a[i][j]=(a[i][j]+nt.a[i][j])%p;
        return tmp;
    }
    inline matrix operator  * (const matrix &nt) const {
        matrix tmp;tmp.clear();
        for(int i=1;i<=2;++i) for(int j=1;j<=2;++j) for(int k=1;k<=2;++k)
            tmp.a[i][j]=(tmp.a[i][j]+a[i][k]*nt.a[k][j]%p)%p;
        return tmp;
    }
    inline matrix write () const {
        for(int i=1;i<=2;++i){
            for(int j=1;j<=2;++j) printf("%lld ",a[i][j]);
            putchar('
');
        }
        return *this;
    }
    inline matrix operator *= (const matrix &nt) { return *this=*this*nt;}
    inline matrix operator += (const matrix &nt) { return *this=*this+nt;}
}ori,oo,ff;
inline matrix power(matrix a,int b){
    matrix ret;ret.clear();
    ret.set(2);
    while(b){
        if(b&1) ret*=a;
        a*=a;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}








struct node {
    int l,r;
    matrix v,tag;
}tree[(N<<2)+2];
inline int lc(int k){return k<<1;}
inline int rc(int k){return k<<1|1;}
inline void push_up(int k){ tree[k].v=tree[lc(k)].v+tree[rc(k)].v;}
inline void push_down(int k){
    tree[lc(k)].v*=tree[k].tag;
    tree[rc(k)].v*=tree[k].tag;
    tree[lc(k)].tag*=tree[k].tag;
    tree[rc(k)].tag*=tree[k].tag;
    tree[k].tag.clear();
    tree[k].tag.set(2);
}
inline void build(int k,int l,int r){
    tree[k].l=l;tree[k].r=r;
    tree[k].tag.set(2);
    if(l==r){
        tree[k].v=oo*power(ori,a[l]);
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lc(k),l,mid);
    build(rc(k),mid+1,r);
    push_up(k);
}
inline void update(int k,int l,int r,matrix x){
    if(l<=tree[k].l && tree[k].r<=r){
        tree[k].v*=x;
        tree[k].tag*=x;
        return;
    }
    int mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    push_down(k);
    if(l<=mid) update(lc(k),l,r,x);
    if(r>mid)  update(rc(k),l,r,x);
    push_up(k);
}
inline int query(int k,int l,int r){
    if(l<=tree[k].l && tree[k].r<=r) return tree[k].v.a[1][1]%p;
    int mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    push_down(k);
    int ret=0;
    if(l<=mid) ret=(ret+query(lc(k),l,r))%p;
    if(r>mid)  ret=(ret+query(rc(k),l,r))%p;
    return ret;
}
signed main(){
    freopen("1.out","w",stdout);
    ff.set(2);
    ori.a[1][1]=1;
    ori.a[1][2]=1;
    ori.a[2][1]=1;
    ori.a[2][2]=0;
    oo.a[1][1]=0;
    oo.a[1][2]=1;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&a[i]);
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int opt=0;
        scanf("%lld",&opt);
        if(opt==1){
            int l=0,r=0,x=0;
            scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);
            update(1,l,r,power(ori,x));
        }
        if(opt==2){
            int l=0,r=0;
            scanf("%lld%lld",&l,&r);
            printf("%lld
",query(1,l,r));
        }
    }
    return 0;
}