Frets On Fire --- 2019 Codeforces Global Round 2 Problem D

Posted 2021-02-15 colossus

原题：https://codeforces.com/contest/1119/problem/D

　　题意大概是一个n行1e18列的矩阵，其中每行第一个数为s[i]，剩下的数每行依次以1的速度递增。就是说，矩阵元素 a[i][j] = s[i] + j 。有q个询问，每个询问有两个参数l，r，求矩阵第l列到第r列（所有行）一共出现了几个不同的数。

　　这道题首先要先想到，两个参数 [l,r] 其实等价于一个参数 [0,r-l] ，也就是说矩阵第0~r-l行出现的数字的个数其实和第l-r行出现的个数是一样的。我们可以这样理解：[l,r] 和 [0,r-l] 代表的区域本质上是两个矩形，而他们的位置关系就是平移而已，如下图两个矩阵，他们的大小一致，因此其中元素有一一对应的关系，也就是每个数都减去（向左平移）了 l 个单位。而整体的数字出现的个数是不变的。

	0	1	2	3	4	5	6	7	...
0	3	4	5	6	7	8	9	10	...
1	1	2	3	4	5	6	7	8	...
2	4	5	6	7	8	9	10	11	...
3	1	2	3	4	5	6	7	8	...
4	5	6	7	8	9	10	11	12	...
5	9	10	11	12	13	14	15	16	...

　　　　　　　　　　<--向左平移L个单位<--

	0	1	2	3	4	5	6	7	...
0	3	4	5	6	7	8	9	10	...
1	1	2	3	4	5	6	7	8	...
2	4	5	6	7	8	9	10	11	...
3	1	2	3	4	5	6	7	8	...
4	5	6	7	8	9	10	11	12	...
5	9	10	11	12	13	14	15	16	...

　　现在，我们可以把每一行看作一个 [s[i],s[i]+r-l] 的闭区间，于是我们把这n个闭区间放到数轴上，如果没有重合，那么答案就是n*(r-l+1)了，但显然区间重合是可能存在的。最暴力的想法就是初始化一个mark[值域]数组，对每一个区间里的数字逐个mark上，最后再遍历值域。然而这玩意儿一次询问就是O(n*值域)，显然不行。

　　这时我们观察数轴上的这n个闭区间，发现他们无论何时（每组询问）的长度都是一致的，因此我们可以把这些区间分成两类：如果对于一个区间I = [x_i,y_i]， 存在区间J = [x_j,y_j], 使得x_j <= y_i，我们说区间I是”贡献确定“的，因为由于区间长度一致，区间I在y_i之后的数字都可以由区间J所替代，所以此时区间I的贡献确定为y_i-x_i。相反地，如果不存在这样的区间J，那么区间I就是”贡献不确定“的，他的贡献与区间长度有关（其实就是长度+1，闭区间嘛）。

　                                         　（劣质示意图）

　　回到这道题，每个询问等价的那个参数（记作q[k], q[k] = r_k-l_k），本质上就是那个区间长度，所以我们知道对于每个”贡献不确定“的区间，他的贡献是q[k] + 1。那对于”贡献确定“的区间。。。废话他们的贡献都确定了好吗。那这个确定的贡献是多少呢，我们可以把这n个区间排个序，排好序之后第i个区间的确定贡献（也就是最大的贡献，记作t[i]）就是 t[i] = s[i+1] - s[i] , 也就是他和下一个区间开头的距离了。最后，判断一个区间是否确定贡献的方式就是判断t[i] 与 q[k] 的大小关系，如果t[i] <= q[k], 那么他的区间尾就碰到了下一个区间头，贡献就确定为t[i]了。我们可以将 t[i] 排序，二分查找有多少个区间为确定贡献的。

　　那么，对于每一个询问 q[k], 覆盖的数字的个数 ans[k] = Σ^p_i=1t[i] + (n-p) * (r_k-l_k+1), 其中p代表有且仅有前p小的t[i] 小于q[k]。需要前缀和数组sum[p]记录前p个t[i] 的和。

　　代码如下：

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 typedef unsigned long long ull;
 6 const int maxN = 1e5 + 3;
 7 const ull inf = 3e18;
 8 ull n, s[maxN] = {0}, qn, q[maxN] = {0}, t[maxN] = {0}, sum[maxN] = {0};
 9 int main()
10 {
11     ull temp;
12     ios::sync_with_stdio(false);
13     cin >> n;
14     for(int i = 1; i <= n; i++)
15         cin >> s[i];
16     cin >> qn;
17     for(int i = 1; i <= qn; i++)
18     {
19         cin >> temp >> q[i];
20         q[i] -= temp;
21     }　　　　　　　　　　　　//读入，询问参数二变一
22     
23     sort(s+1,s+1+n);
24     t[0] = 0;
25     for(int i = 1; i < n; i++)
26         t[i] = s[i+1] - s[i];
27     t[n] = inf;        // 最后一个区间永远也不会与下一个区间重合，贡献是不确定的
28     sort(t,t+n);　　　　// sort记得写在前缀和之前。。。
29     for(int i = 1; i < n; i++)
30         sum[i] = sum[i-1] + t[i];
31     
32     for(int i = 1; i <= qn; i++)
33     {
34         int l = 0, r = n-1, mid; // q可能小于所有的t，但不可能大于所有的t
35         while(l < r)
36         {
37             mid = (l+r+1) >> 1;  // 记得+1，防止死循环
38             if(t[mid] <= q[i])
39                 l = mid;
40             else
41                 r = mid - 1;
42         }
43         cout << sum[l] + (q[i]+1) * (n-l) << ‘ ‘;
44     }
45     cout << endl;
46     
47     return 0;
48 }