Frets On Fire --- 2019 Codeforces Global Round 2 Problem D

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Frets On Fire --- 2019 Codeforces Global Round 2 Problem D相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

原题:https://codeforces.com/contest/1119/problem/D

  题意大概是一个n行1e18列的矩阵,其中每行第一个数为s[i],剩下的数每行依次以1的速度递增。就是说,矩阵元素 a[i][j] = s[i] + j 。有q个询问,每个询问有两个参数l,r,求矩阵第l列到第r列(所有行)一共出现了几个不同的数。

  这道题首先要先想到,两个参数 [l,r] 其实等价于一个参数 [0,r-l] ,也就是说矩阵第0~r-l行出现的数字的个数其实和第l-r行出现的个数是一样的。我们可以这样理解:[l,r] 和 [0,r-l] 代表的区域本质上是两个矩形,而他们的位置关系就是平移而已,如下图两个矩阵,他们的大小一致,因此其中元素有一一对应的关系,也就是每个数都减去(向左平移)了 l 个单位。而整体的数字出现的个数是不变的。

  0 1 2 3 4 5 6 7 ...
0 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
1 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
2 4 5 6 7 8 9 10 11 ...
3 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
5 9 10 11 12 13 14 15 16 ...

          <--向左平移L个单位<--

  0 1 2 3 4 5 6 7 ...
0 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
1 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
2 4 5 6 7 8 9 10 11 ...
3 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
5 9 10 11 12 13 14 15 16 ...

  现在,我们可以把每一行看作一个 [s[i],s[i]+r-l] 的闭区间,于是我们把这n个闭区间放到数轴上,如果没有重合,那么答案就是n*(r-l+1)了,但显然区间重合是可能存在的。最暴力的想法就是初始化一个mark[值域]数组,对每一个区间里的数字逐个mark上,最后再遍历值域。然而这玩意儿一次询问就是O(n*值域),显然不行。

  这时我们观察数轴上的这n个闭区间,发现他们无论何时(每组询问)的长度都是一致的,因此我们可以把这些区间分成两类:如果对于一个区间I = [xi,yi], 存在区间J = [xj,yj], 使得x<= yi,我们说区间I是”贡献确定“的,因为由于区间长度一致,区间I在yi之后的数字都可以由区间J所替代,所以此时区间I的贡献确定为yi-xi。相反地,如果不存在这样的区间J,那么区间I就是”贡献不确定“的,他的贡献与区间长度有关(其实就是长度+1,闭区间嘛)。

                                           技术图片(劣质示意图)

  回到这道题,每个询问等价的那个参数(记作q[k], q[k] = rk-lk),本质上就是那个区间长度,所以我们知道对于每个”贡献不确定“的区间,他的贡献是q[k] + 1。那对于”贡献确定“的区间。。。废话他们的贡献都确定了好吗。那这个确定的贡献是多少呢,我们可以把这n个区间排个序,排好序之后第i个区间的确定贡献(也就是最大的贡献,记作t[i])就是 t[i] = s[i+1] - s[i] , 也就是他和下一个区间开头的距离了。最后,判断一个区间是否确定贡献的方式就是判断t[i] 与 q[k] 的大小关系,如果t[i] <= q[k], 那么他的区间尾就碰到了下一个区间头,贡献就确定为t[i]了。我们可以将 t[i] 排序,二分查找有多少个区间为确定贡献的。

  那么,对于每一个询问 q[k], 覆盖的数字的个数 ans[k] = Σpi=1t[i] + (n-p) * (rk-lk+1), 其中p代表有且仅有前p小的t[i] 小于q[k]。需要前缀和数组sum[p]记录前p个t[i] 的和。

  代码如下:

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 typedef unsigned long long ull;
 6 const int maxN = 1e5 + 3;
 7 const ull inf = 3e18;
 8 ull n, s[maxN] = {0}, qn, q[maxN] = {0}, t[maxN] = {0}, sum[maxN] = {0};
 9 int main()
10 {
11     ull temp;
12     ios::sync_with_stdio(false);
13     cin >> n;
14     for(int i = 1; i <= n; i++)
15         cin >> s[i];
16     cin >> qn;
17     for(int i = 1; i <= qn; i++)
18     {
19         cin >> temp >> q[i];
20         q[i] -= temp;
21     }            //读入,询问参数二变一
22     
23     sort(s+1,s+1+n);
24     t[0] = 0;
25     for(int i = 1; i < n; i++)
26         t[i] = s[i+1] - s[i];
27     t[n] = inf;        // 最后一个区间永远也不会与下一个区间重合,贡献是不确定的
28     sort(t,t+n);    // sort记得写在前缀和之前。。。
29     for(int i = 1; i < n; i++)
30         sum[i] = sum[i-1] + t[i];
31     
32     for(int i = 1; i <= qn; i++)
33     {
34         int l = 0, r = n-1, mid; // q可能小于所有的t,但不可能大于所有的t
35         while(l < r)
36         {
37             mid = (l+r+1) >> 1;  // 记得+1,防止死循环
38             if(t[mid] <= q[i])
39                 l = mid;
40             else
41                 r = mid - 1;
42         }
43         cout << sum[l] + (q[i]+1) * (n-l) <<  ;
44     }
45     cout << endl;
46     
47     return 0;
48 }

 

以上是关于Frets On Fire --- 2019 Codeforces Global Round 2 Problem D的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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