最短编辑距离问题理解

Posted 2021-02-15 shqhdmr

最短编辑距离是指两个字符串，把其中一个字符串转为另一个字符串所需要花费的最小操作成本。

设dp[i][j]为Xi与Yj的最短编辑距离，则Xi与Yj处于最优解时的排列有三种情况

1.Xi最后一个元素xi位于Yj最后一个元素yj的左边

2.Xi最后一个元素xi位于Yj最后一个元素yj的右边

3.Xi最后一个元素xi与Yj最后一个元素yj重合

无论最终dp[i][j]的字符串如何对齐，只用取三种情况的最小值即可。

对于1，转化操作时，yj是必然要删掉的，故必然有1个单位的操作成本，因为dp[i][j]是最优操作成本，故dp[i][j]-1就是Xi与Yj-1的最优操作成本，即dp[i][j]-1=dp[i][j-1]，即dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1。

对于2，同理，对称，xi是必然要删掉的，dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1

对于3，若xi = yj，则没有任何成本，此时Xi与Yj的最小操作成本与Xi-1和Yj-1相同，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 0；若xi ≠ yj，则必然要将xi替换为yj或反之，故必然有1个单位的操作成本，所以dp[i][j] - 1是Xi-1与Yj-1的最优成本，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;

整理递归式：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1] + diff(xi, yj));

可直接用递归求解或者动态规划求解。