并查集

Posted 2021-02-15 naive-cat

并查集的原理介绍

并查集是一种特殊的集合，它包括“并”和“查”两部分，就是说，它只能进行“并”和“查”两种操作。

举个形象的例子来体现并查集：

小明在玩一个叫做“到底有几个团队”的游戏，这个游戏是这样的：有若干个人组成了若干个团队，然后，这些人会给小明若干个线索，线索类似于说“xx和xx在一个团队里”，小明要做的，就是根据线索求出到底有多少个团队。

比如说：

现在有(3)个人，分别是小力，小华和小刚。

这时他们给出了(1)条线索：小华和小刚是一个团队的。

很显然，有(2)个团队。

但如果再复杂一点呢？

现在有(10)个人，分别是(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)。

这时他们给出了(7)条线索：

(2)和(4)是一个团队的；

(5)和(7)是一个团队的；

(1)和(3)是一个团队的；

(8)和(9)是一个团队的；

(1)和(2)是一个团队的；

(5)和(6)是一个团队的；

(2)和(3)是一个团队的。

是不是感觉有点晕了，这么多人和线索，而且这些线索绕来绕去的，实在有些难分辨。

当然，我们可以画图来帮助解题。

最初始的状态：

得到线索“(2)和(4)是一个团队的”时：

得到线索“(5)和(7)是一个团队的”时：

得到线索“(1)和(3)是一个团队的”时：

得到线索“(8)和(9)是一个团队的”时：

得到线索“(1)和(2)是一个团队的”时：

得到线索“(5)和(6)是一个团队的”时：

得到线索“(2)和(3)是一个团队的”时：

因为(2)和(3)在得到线索“(1)和(3)是一个团队的”时就在一个团队里了，所以状态没有发生变化。

从图中可知，共有(4)个团队。

并查集就类似于模仿上文“画图”的方式来进行问题求解。

并查集的代码实现

上文说到，并查集的操作分为“并”和“查”两部分，我们来讲讲并查集的两种操作的实现。

“并”

void unionn(int x,int y)//"并"
{
    x=find(x);
    y=find(y);
    if(x!=y)father[y]=x;
}

“查”

递归实现

int find(int x)//"查"
{
    if(father[x]!=x)return find(father[x]);
    else return x;
}

非递归实现

int find(int x)//"查"
{
    while(father[x]!=x)x=father[x];
    return x;
}

并查集的路径压缩

当题目数据比较特殊，比如是一条链时，这种“并”与“查”的方式就会超时。这时就要用到一种优化的方法：路径压缩。这种做法就是在找完某个元素的根节点之后，在递归回来的时候顺便把路径上元素的父亲都指向根节点。

举个例子：

没有路径压缩的元素存储方式：

有路径压缩的元素存储方式：

从图中可以看出来，有路径压缩的并查集进行“查”的操作会更快。

实现如下(仅能递归实现)：

int find(int x)//"查"
{
    if(father[x]!=x)father[x]=find(father[x]);
    return father[x];
}

并查集的初始化

注意，最初始的状态是所有元素的父亲就是自己，所以，应当进行初始化。
代码如下：

for(int i=1;i<=n;i++)
    father[i]=i;

实现例子

看了那么久，我们来做一道题目吧，将例子中的人数设定为(n(n le 10000))人，将线索设定为(m(m le 10000))条，线索的输入方式设定为：A B((A,B)为数字())现在来做一做吧。

(Code:)

#include <iostream>
using namespace std;
int father[10010];//father数组存储着并查集元素 
void start(int n)//初始化 
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        father[i]=i;
}
int find(int x)//"查"
{
    if(father[x]!=x)father[x]=find(father[x]);
    return father[x];
}
void unionn(int x,int y)//"并"
{
    x=find(x);
    y=find(y);
    father[x]=y;
}
int main()
{
    int n,m,ans=0;
    cin>>n>>m;
    start(n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        unionn(a,b);//将a,b合并成一个团队 
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(father[i]==i)ans++;//如果某个元素的父亲就是它自己，则这是一个以其为首的团队 
    cout<<ans;
    return 0;
}