莫比乌斯反演

Posted 2021-02-15 lykkk

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了莫比乌斯反演相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

莫比乌斯函数

定义

对(d)进行质因数分解：(d=p_1^{r1}p_2^{r2}p_3^{r3}····p_k^{rk})
(r=max{r_1,r_2,r_3···r_k})
莫比乌斯函数的定义为
[mu(d) = egin{cases}1qquad d=1\ 0qquad r > 1\ (-1)^kqquad r=1end{cases}]
也就是说

当(d=1)时，(mu(d)=1)
当(d)质因数分解后，若质因子中的最大次数大于一，(mu(d)=0)
当(d)质因数分解后，质因子中的最大次数等于一，也就是(d=p_1p_2p_3···p_k)时，(mu(d)=(-1)^k)，(k)为质因子的个数

举个栗子：
(mu(1)=1\ mu(3)=(-1)^1=-1\ mu(6)=(-1)^2=1\mu(4)=0)

性质

性质1：
对于任意正整数(n)，有[sum_{dmid n}mu(d)=[n=1]]([n=1])表示当(n=1)的时候值为(1)，否则值为(0)。
****
证明(请教于wby大佬):

当(n=1)时，显然。
考虑(n>1)的情况，(n=p_1^{k1}o_2^{k2}p_3^{k3}···p_m^{km})
根据定义显然只有当(k_1=k_2=k_3=···k_m=1)时有贡献，否则为(0)。
我们就只讨论有贡献的情况；
设(n)的因子(d)中有(i)个质因子，(mu(d)=(-1)^r)，因为(d)的质因子一定是(n)的质因子，从(m)个质因子中选出(i)的质因子的组合数就为(C_m^r)。
[sum_{dmid n}mu(d)=sum_{r=0}^{m}(-1)^{i} C_m^r]
然后根据二项式定理：
[(x+y)^m = sum_{r=0}^{m}C_{m}^{r} x^{m-r} y^r]
令(x=1,y=-1)，可得：
[sum_{r=0}^{m}C_m^r(-1)^{r}=sum_{r=0}^{m}C_m^r (1)^{m-r}(-1)^r=(-1+1)^m=0]
由此得证

性质2：
对于任意正整数(n)均有
[sum_{dmid n} frac{mu(d)}{d}=frac{phi(n)}{n}]
****
证明：
[phi(n)=sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==1]]
这时根据性质1
[phi(n)=sum_{i=1}^{n}sum_{dmid gcd(i,j)}mu(d)]
然后先枚举最大公约数
[phi(n)=sum_{dmid n}sum_{dmid i=d}^{ileq n}mu(d)\=sum_{dmid n}mu(d)sum_{dmid i=d}^{ileq n}1\=sum_{dmid n}mu(d)frac{n}{d}\ =sum_{dmid n}frac{mu(d)n}{d} ]
得到
[frac{phi(n)}{n}=sum_{dmid n} frac{mu(d)}{d}]

板子

只需要在筛法上加四句话

void shai(int n) {
    mu[1] = 1;          //定义mu[1]=1 
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!vis[i]) p[++num] = i, mu[i] = -1;  //mu质数=-1 
        for (int j = 1; j <= num; j++) {
            if (i * p[j] > n) break;
            vis[i * p[j]] = 1;
            if (!i % p[j]) {        //i%p[j]==0说明i有p[j]这个因子，所以i*p[j]=0 
                mu[i * p[j]] = 0;
                break;
            } else mu[i * p[j]] = -mu[i];   //有多了一个质因子，所以取负 
        }
    }
}