震波——动态点分治+线段树

Posted 2021-02-15 chmwt

题目

【题目描述】

在一片土地上有 $N$ 个城市，通过 $N-1$ 条无向边互相连接，形成一棵树的结构，相邻两个城市的距离为 $1$，其中第 $i$ 个城市的价值为 $value[i]$。
不幸的是，这片土地常常发生地震，并且随着时代的发展，城市的价值也往往会发生变动。

接下来你需要在线处理 $M$ 次操作：
- $0~x~k$ 表示发生了一次地震，震中城市为 $x$ ，影响范围为 $k$ ，所有与 $x$ 距离不超过 $k$ 的城市都将受到影响，该次地震造成的经济损失为所有受影响城市的价值和。
- $1~x~y$ 表示第$x$个城市的价值变成了 $y$ 。

为了体现程序的在线性，操作中的 $x$ 、$y$ 、$k$ 都需要异或你程序上一次的输出来解密，如果之前没有输出，则默认上一次的输出为 $0$ 。

【输入格式】

第一行包含两个正整数 $N$ 和 $M$ 。

第二行包含 $N$ 个正整数，第 $i$ 个数表示 $value[i]$ 。

接下来 $N-1$ 行，每行包含两个正整数$u,v$，表示 $u$ 和 $v$ 之间有一条无向边。

接下来 $M$ 行，每行包含三个数，表示 $M$ 次操作。

【输出格式】
包含若干行，对于每个询问输出一行一个正整数表示答案。
【样例输入】

8 1
1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7
3 8
0 3 1

【样例输出】
11100101
【数据范围与提示】

$1 le N,M le 100000$

$1 le u,v,x le N $

$1 le value[i],y le 10000 $

$ 0 le k le N-1 $

题解

要求树上和一个点距离不超过 $k$ 的所有点，很容易想到动态点分治

开 $ n $ 棵权值线段树，记录当前点分中心距离为 $ v $ 的点的个数

考虑在点分树上查询，会发现在 $ x $ 统计过答案的点有可能在 $ fa[x] $ 上也被统计

考虑容斥，再开 $ n $ 棵线段树，记录从当前点分中心 $ x $ 经过 $ fa[x] $ 距离为 $ v $ 的权值和，查询时扣掉即可

时间效率：$ O(nlog^2 n) $

代码

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 #define LL long long
  3 #define il inline
  4 #define re register
  5 #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
  6 using namespace std;
  7 il int R(){
  8     int x;bool f=1;char ch;_(!)if(ch==‘-‘)f=0;x=ch^48;
  9     _()x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);return f?x:-x;}
 10 const int N=2e5+10;
 11 int n,m,ans,f[N],top[N],dep[N],sz[N],son[N],head[N],cnt,Mx,Rt,Sz,fa[N],siz[N],val[N],rot[N<<1],tot;
 12 bool vis[N];
 13 struct seg{int ls,rs,v;}tr[N<<6];
 14 struct edge{int to,nex;}e[N<<1];
 15 il void add(int s,int t){e[++cnt]=(edge){t,head[s]},head[s]=cnt;}
 16 il void dfs(int x,int far){
 17     f[x]=far,sz[x]=1,dep[x]=dep[far]+1;
 18     for(re int v,k=head[x];k;k=e[k].nex)
 19         if((v=e[k].to)!=far){
 20             dfs(v,x),sz[x]+=sz[v];
 21             if(sz[v]>sz[son[x]])son[x]=v;
 22         }
 23     return;
 24 }
 25 il void DFS(int x,int far){
 26     top[x]=far;
 27     if(son[x])DFS(son[x],far);
 28     for(re int k=head[x],v;k;k=e[k].nex)
 29         if((v=e[k].to)!=f[x]&&v!=son[x])
 30             DFS(v,v);
 31 }
 32 il int lca(int x,int y){
 33     while(top[x]^top[y]){
 34         if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
 35         x=f[top[x]];
 36     }
 37     return dep[x]<dep[y]?x:y;
 38 }
 39 il int get(int u,int v){return dep[u]+dep[v]-2*dep[lca(u,v)];}
 40 il void getrot(int u,int far){
 41     int mx=0;siz[u]=1;
 42     for(re int k=head[u],v;k;k=e[k].nex)
 43         if((v=e[k].to)!=far&&!vis[v])
 44             getrot(v,u),siz[u]+=siz[v],mx=max(mx,siz[v]);
 45     mx=max(mx,Sz-siz[u]);
 46     if(mx<Mx)Mx=mx,Rt=u;
 47     return;
 48 }
 49 il int getsize(int u,int far){
 50     siz[u]=1;
 51     for(re int k=head[u],v;k;k=e[k].nex)
 52         if((v=e[k].to)!=far&&!vis[v])
 53             siz[u]+=getsize(v,u);
 54     return siz[u];
 55 }
 56 void slove(int u,int far){
 57     Mx=1e9,getrot(u,0),vis[Rt]=1;
 58     fa[Rt]=far,far=Rt;
 59     for(re int k=head[Rt],v;k;k=e[k].nex)
 60         if(!vis[v=e[k].to])Sz=getsize(v,0),slove(v,far);
 61 }
 62 #define Ls tr[rt].ls
 63 #define Rs tr[rt].rs
 64 il void change(int &rt,int l,int r,int k,int x){
 65     if(!rt)rt=++tot;
 66     tr[rt].v+=x;
 67     if(l==r)return;
 68     int mid=(l+r)>>1;
 69     if(k<=mid)change(Ls,l,mid,k,x);
 70     else change(Rs,mid+1,r,k,x);
 71     return;
 72 }
 73 il int query(int rt,int l,int r,int qr){
 74     if(!rt)return 0;
 75     if(qr>=r)return tr[rt].v;
 76     int mid=(l+r)>>1,res=0;
 77     if(qr>mid)res=tr[Ls].v+query(Rs,mid+1,r,qr);
 78     else res=query(Ls,l,mid,qr);
 79     return res;
 80 }
 81 il void update(int x,int v){
 82     change(rot[x],0,n,0,v);
 83     for(re int i=x;fa[i];i=fa[i]){
 84         int dis=get(x,fa[i]);
 85         change(rot[fa[i]],0,n,dis,v);
 86         change(rot[i+n],0,n,dis,v);
 87     }
 88 }
 89 il int ask(int x,int y){
 90     int res=query(rot[x],0,n,y);
 91     for(re int i=x;fa[i];i=fa[i]){
 92         int dis=get(x,fa[i]);
 93         if(dis>y)continue;
 94         res+=query(rot[fa[i]],0,n,y-dis)-query(rot[i+n],0,n,y-dis);
 95     }
 96     return res;
 97 }
 98 int main(){
 99     n=R(),m=R();
100     for(re int i=1;i<=n;i++)val[i]=R();
101     for(re int i=1,u,v;i<n;i++)
102         u=R(),v=R(),add(u,v),add(v,u);
103     dfs(1,0),DFS(1,1),Sz=n,slove(1,0);
104     for(re int i=1;i<=n;i++)update(i,val[i]);
105     for(re int i=1;i<=m;i++){
106         int op=R(),x=R()^ans,y=R()^ans;
107         if(op)update(x,y-val[x]),val[x]=y;
108         else printf("%d
",ans=ask(x,y));
109     }
110     return 0;
111 }

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