省选一轮

Posted 2021-02-15 smeow

拉格朗日差值

最小树形图

二项式反演

BSGS

最小割树

虚树

boruvka

(1.0/1)串也可以黑白染色。

(2.) 在平面图中，总是满足： (V-E+F=1+C)（(F)是面数，(C)是联通块数）。

(3.Sigcap T = emptysetLeftrightarrow Ssubseteq complement_uT)

(4.)差分表第(0)条对角线为(c_1,c_2,c_3,cdots c_k,0,0,cdots)，那么通项为(h_n=sum_{i=0}^k c_i{nchoose i}), 前缀和为(sum_{i=1}^nh_i=sum_{i=1}^nsum_{j=0}^kc_j{ichoose j}=sum_{j=0}^kc_jsum_{i=1}^n{ichoose j}=sum_{j=0}^kc_j{n + 1choose j + 1})

(5.)点分治处理联通块问题：强制每次都经过分治中心。

(6.Theta(1))快速乘：$a % p = a - lfloor frac a p floor imes p $

(7.)通过交换对(0/1)序列排序：倍增法。

(8.)矩阵树定理。

(9.)全幺模矩阵：只有(0,1,-1)；每列至多两个非零数；如果一列包含两个非零数，他们相同则这两行不在一个集合，不同则在一个集合，最后可以划分成两个合法的行集合。这样的矩阵经过初等变换还是全幺模矩阵。

(10.sum_{i=1}^nlfloorfrac n i floor = sum_{i=1}^n sigma(i))

(11.sum_{gcd(i,n)=1}i=frac{varphi(n)n}2)

(12.varphi(n)=nprod_{p|n,p~is~prime}frac{p-1}p)

(13.) 当 (F(x))是二次函数，(int F(x)=frac{(r-l)}{6}[F(r)+F(l)+4F(frac{l+r}2)])

(14.)在(\%p)意义下，(1-p-1)逆元互不相同。

(15.) 与 (n)互质的数每(n)个一循环，(gcd(i,n)=1Leftrightarrowgcd(i+n,n)=1)

(16.(x+1)^p=x^p+1)

(17.mu^2(i)=sum_{d^2|i}mu(d))

(18.)两个不同的数的(gcd)不会超过两个数的差。

(19.)在(xor)意义下，所有环都可以被简单环（dfs树上的非树边或dfs不走当前栈上的点）组成。

(20.)两棵树相连，新树重心在原来两个重心之间的路径上。

(21.)一棵树加/删一个点，重心只移动一条边。

(22.gcd(i,j)=sum_{d|gcd(i,j)}varphi(d))

(23.I[gcd(i,j)=1]=sum_{d|gcd(i,j)}mu(d))

(24.)对于询问修改等操作分块，平均复杂度。

(25.)在dfs序上建主席树，解决子树/链问题。

(26.beatty)数列。

(27.x^k=sum_{i=0}^{x~or~k}{xchoose i}i!S_2(k,i))

(28.)已知(ab/ba,bc/cb) 可以得到 (ac)，这样的问题有传递性，考虑最小生成树。

(29.xy)是完全平方数，(yz)是完全平方数，那么(xz)也是完全平方数。

(30.)图的最短路图也是DAG，DAG求割边当无向图做。

(31.)子树在(dfs)序/括号序中代表一段区间。

(32.)拓扑图统计路径的方法：把图断成两部分，只有左部向右部的连边，路径分三种：左部自己的，右部自己的，跨过断层的。

(33.)用当前图案为单位拼基础图案(Leftrightarrow)用基础图案代替每个单位。

(34.)在(\%2)意义下，(+-)都变成(xor)。

(35.n)个点的虚树，按照(dfs)序排序，边数(=frac{sum_idis(p_i,p_{i\%n+1})}{2})

(36.)一个排列可以看成是一个置换，(i->p_i)连边，(p_{p_i})就是走两步，结果奇环改变顺序，偶环变成两个。

(37.g)存在条件：(p=q^a,2q^a,2,4)（(q)是奇素数）；(forall p_i,g^{frac{varphi(p)}{p_i}} e 1(mod~p))

(38.)
[a^cequiv {egin{cases}a^{c\%varphi(p)}&gcd(a,p)=1\a^c&gcd(a,p) e1,c<varphi(p)\a^{c\%varphi(p)+varphi(p)}&gcd(a,p) e1,cgevarphi(p)end{cases}}]

(39.sum_{i=0}^n {nchoose i}{mchoose k-i}={n+mchoose k})

(40.sum_{i=0}^n{nchoose i}={2nchoose n})

(41.sum_{i=0}^k{n+r-1choose r}={n+kchoose k})

(42.sum_{i=0}^ni{nchoose i}x^i=n(1+x)^{n-1})

(43.sum_{i=1}^n{ichoose m}={n+1choose m+1})

(44.-2ij={ichoose 2}{jchoose 2}{i+jchoose 2})

(45.{nchoose m}=prod_{i=1}^mfrac{n+1-i}{i})