Lucas&&Exlucas

Posted 2021-02-15 bhllx

Lucas和Exlucas可以求模p意义下大数的组合数。

先考虑p为质数的情况，那么直接上Lucas定理即可。

Lucas 定理基本内容：
[ C_n^m=C_{n mod p}^{m mod p} (mod p) p是质数 ]
对于Lucas的实现直接递归处理即可，注意特判n＜m的情况。

如果p不为质数，那么用Exlucas求解。

实际上，Exlucas和Lucas定理没有关系……

由于p不为质数，所以可以考虑把p质因数分解：
[ p=p_1^{c_1}*p_2^{c_2}...p_t^{c_t} ]

那么可以问题可以转化成求解下列每一个式子的值，然后用CRT合并答案即可：

[ C_n^m mod p_1^{c_1}C_n^m mod p_2^{c_2}...C_n^m mod p_t^{c_t}\]

继续转化，把组合数写成阶乘形式,相当于要求：

[ frac{n!}{m!·(n-m)!} mod p^k ]

发现直接做不好做，逆元问题都不好解决，考虑把左边每一项中的因子p给提出来:

[ frac{frac{n!}{p^{a_1}}}{frac{m!}{p^{a_2}}*frac{(n-m)!}{p^{a3}}}*p^{a^1-a^2-a^3} mod p^k ]

这样逆元就可以直接用Exgcd球了。

那么现在重点解决的问题又变成了：

[ n! mod p^k 其中n还要除去所有的因子p ]

举个例子：n=22，p=3，k=2

把其中所有p（也就是3）的倍数提取出来，得到：
[ 22!=3^7×(1×2×3×4×5×6×7)×(1×2×4×5×7×8)×(10×11×13×14×16×17)×(19×20×22) ]

可以发现：

[ (1×2×4×5×7×8)equiv(10×11×13×14×16×17) (mod 3) ]

所以对于这种一段一段的可以直接处理，最后求一下它（n/p^k）次方即可。

对于3的次方不需要考虑，因为在外面会乘上来。

那么为什么不把3,6彻底分解呢？

这是为了递归的方便，可以发现存在一项7！，也就是（n/p）！，可以递归处理。

所以在一层层递归中，每次每个含有因数p的数提且仅提出一个p，那么可以实现递归，且最后可以把所有p都提出!

然后就可以开心的求出组合数了O(∩_∩)O！