「ZJOI2019」线段树

Posted 2021-02-15 papercloud

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Description

线段树的核心是懒标记，下面是一个带懒标记的线段树的伪代码，其中 tag 数组为懒标记：

其中函数(Lson(Node))表示(Node)的左儿子，(Rson(Node))表示(Node)的右儿子。

有一棵 ([1,n])上的线段树，编号为(1) 。初始时什么标记都没有。

每次修改会把当前所有的线段树复制一份，然后对于这些线段树实行一次区间修改操作。

每次修改后线段树棵数翻倍，第 (i)次修改后，线段树共有 (2^i) 棵。

每次询问这些线段树中有标记的点的总数。

询问个数(q)，(1leq n,q leq 10^5)

Solution

一道很有特色的题目

考察的是对线段树区间修改的认知

(f_x)表示(x)号节点有标记的线段树占的比例

(g_x)表示(x)号节点到根路径上有标记的线段树占的比例

首先，把每次区间修改的点分成(5)类

1. 在找到目标节点前经过的节点，它们的标记全部下传，所以(f_x=frac{1}{2}f_x,g_x=frac{1}{2}g_x)
2. 目标节点，完全被覆盖，递归过程中被全部被打上标记，(f_x=frac{1}{2}+frac{1}{2}f_x,g_x=frac{1}{2}+frac{1}{2}g_x)
3. (2)类节点的子树内的其它节点，递归过程中不变，(f_x=f_x,g_x=frac{1}{2}+frac{1}{2}g_x)
4. 在(pushdown)中被访问到的节点，但完全不被覆盖，(f_x=frac{1}{2}f_x+frac{1}{2}g_x,g_x=g_x)
5. (4)类节点的子树内的其它节点，递归过程不变，(f_x=f_x,g_x=g_x)

同时，我们去要维护子树内的(f_x)的和

对于(g_x)的修改，我们采用打懒标记的方式，当找到(2)类节点时，直接对它打上(*frac{1}{2})的标记

Code?

#include<bits/stdc++.h>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define ll long long
#define reg register
inline int read()
{
    reg int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int MN=1e5+5,mod=998244353,Inv2=499122177;
int N,M;
int f[MN<<3],g[MN<<3],sf[MN<<3],lz[MN<<3];
#define Add(x,y) (((x)+(y))%mod)
#define Mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%mod)
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
void C(int x,int val){lz[x]=Mul(lz[x],val);g[x]=Add(Mul(g[x],val),1-val+mod);}
void down(int x){if(lz[x]^1)C(ls,lz[x]),C(rs,lz[x]),lz[x]=1;}
void up(int x){sf[x]=Add(f[x],Add(sf[ls],sf[rs]));}
void Build(int x,int l,int r)
{
    lz[x]=1;if(l==r) return;
    reg int mid=(l+r)>>1;
    Build(ls,l,mid);Build(rs,mid+1,r);
}
void Modi(int x,int l,int r,int a,int b)
{
    if(r<a||l>b)
    {
        f[x]=Mul(Inv2,Add(f[x],g[x]));
        up(x);return;
    }
    if(l>=a&&r<=b)
    {
        f[x]=Add(Inv2,Mul(Inv2,f[x]));
        C(x,Inv2);up(x);return;
    }
    down(x);f[x]=Mul(Inv2,f[x]);g[x]=Mul(Inv2,g[x]);
    reg int mid=(l+r)>>1;
    Modi(ls,l,mid,a,b);
    Modi(rs,mid+1,r,a,b);
    up(x);
}
int main()
{
    N=read();M=read();Build(1,1,N);
    reg int opt,l,r,Num=1;
    while(M--)
    {
        opt=read();
        if(opt==2) printf("%d
",Mul(sf[1],Num));
        else l=read(),r=read(),Modi(1,1,N,l,r),Num=Mul(2ll,Num);
    }
    return 0;
}

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