欧拉公式的证明

Posted 2021-02-14 chhokmah

求证

$$e^{ix}=cos(x)+isin(x)$$

证明

设$z=x+iy$，则有$frac{e^z}{e^x}=e^{iy}$。
牛顿幂级数展开式如下
$$e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+cdots$$
用幂级数展开式展开$e^{iy}$得到
$$frac{e^z}{e^x}=e^{iy}=1+iy-frac{y^2}{2!}-frac{iy^3}{3!}+frac{y^4}{4!}+frac{iy^5}{5!}-cdots$$
$$=(1-frac{y^2}{2!}+frac{y^4}{4!}-cdots)+i(y-frac{y^3}{3!}+frac{y^5}{5!}-cdots)$$
根据sin和cos的定义
$$cos(y)=1-frac{y^2}{2!}+frac{y^4}{4!}-cdots$$
$$sin(y)=y-frac{y^3}{3!}+frac{y^5}{5!}-cdots$$
所以
$$e^{x+iy}=e^x imes e^{iy}=e^x imes (cos(y)+isin(y))$$
得证：
$$e^{iy}=cos(y)+isin(y)$$