算法问题拓展——kadane算法及其二维数组的扩展

Posted 2021-02-14 limitcm

　　上次完成最大子序和算是对这类算法的入门，现在想要对其进行加深学习。

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　　最大子数组的问题里对我印象最深的就是动态规划的解决方法——“解其不同部分（即子问题），再根据子问题的解以得出原问题的”。这种解决方法十分常用，而其在一维数组中的总结以及最优解就是Kadane算法。

Kadane算法

//C++伪代码
int kadane(){
    int ans = n[0];
    dp[0] = n[0];
    for(int i = 1;i < strlen(n);i++){
        dp[i] = Max(n[i],dp[i-1]+n[i]);
        ans = Max(dp[i],ans);
    }
}

　　作为最简洁的算法，我在这里先列上，java形式在之前的随笔中就有，但发现解释和我的理解有不一样的地方，这影响到我对二维数组的理解，所以在此重新学习一遍。

　　首先是关注点。要着重注意：指定数组中某一个元素 n[i] 作为最大子序列的末尾元素时， 能找到的最大子数组的求和值是多少。这样但我们看第一个元素n[0]的时候，只需要关注其后一个元素即可；而在算子序和的时候，n[i...j]也只需要关注n[j+1]即可。意思就是n[i...j]中的最大子数组只会包含或不包含n[j+1]。如果包含，再看下一个元素。如果不包含，那么从n[j+2]再开始找即可。过程中记录出现的最大子序和。

 

二维数组中用动态规划

　　既然问题扩展了一个维度，那就只要找到子问题就还是能用动态规划。

　　如果简单的说：将同一列的元素与前一行的元素相加得到一个一维数组，对一维数组进行Kadane算法就能找出最大子数组的和。但这样只是描述了过程，很难理解（不过对过程进行一次演绎后确实能理解不少，It just work）。

public int kadane2d(int n[][]){
        int rows = n.length;
        int cols = n[0].length;
        int temp[] = new int[rows];
        int result;//maxSum
        for(int left = 0; left < cols ; left++){
            for(int i=0; i < rows; i++){
                temp[i] = 0;
            }
            for(int right = left; right < cols; right++){
                for(int i=0; i < rows; i++){
                    temp[i] += n[i][right];
                }
                int kadaneResult = kadane(temp);//currentSum
                if(kadaneResult > result){
                    result = kadaneResult;
                }
            }
        }
        return result;
    }

　　时间复杂度近似O（n³）——O（cols*rows*cols）

　　具体过程为Maximum Sum Rectangular Submatrix in Matrix dynamic programming/2D kadane（Youtube）。

 

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　　后记，记下自己的未实现过程。

　　本来想着用递归和二分法来解决并节约时间复杂度，但解决时遇到问题，没法在二分后判断跨越中间的子数组的大小，所以宣告放弃。但或许什么时候想出来了也不失为一种解决方案。

　　参考网上解题过程后，已经觉得找最大子数组问题是把我引入动态规划的一道经典例题，所以最后归纳的方案还是用了Kadane算法来解决。