KM——二分图带权最大匹配

Posted 2021-02-14 stephencurry30

定义：完备匹配：两个集合顶点数都为N，且有N条边被匹配<每个点都匹配>。形象地理解：有n男n女，每个人都可以找到自己心仪的对象。

特点：只适用于完备匹配（两个集合顶点数都为N，且有N条边被匹配<每个点都匹配>）

定义：

　　· 设二分图两个顶点集合为{A}，{B}

　　· 顶标：给每个顶点赋值，全称顶点标记值

　　　　设集合{A}顶标为la[i]，{B}顶标为lb[i]，满足对于任何一条边W，两个顶点的顶标和>=边的权值（la[i] + lb[j] >= W(i , j) )

　　· 交错树：考虑匈牙利算法，若寻找增广路失败，那一条路径即为“交错树”。显然，根据匈牙利算法，第（1，3，5，……）条边都为非匹配边，并且由子集{A}的顶点出发向子集{B}的顶点；第（2，4，6，……）条边都为已匹配边，并且由并且由子集{B}的顶点出发向子集{A}的顶点。并且这条路径起始点在子集{A}，终点也在子集{A}。

　　· 相等子图：设二分图两个顶点集合为{A}，{B}，由所有边满足W（ai，bj) = la[ai] + lb[bj]构成的二分图（可以理解为相等子图是不带权值的）

证明——一旦存在相等子图的完备匹配（不带权的），此匹配必然是二分图带权最大完备匹配！

 

　　证明：

　　一旦相等子图存在完备匹配，考虑其所有匹配边的权值和（虽然求相等子图完备匹配时不带权值，但最终还是要回归到原来的带权匹配，这里指的是边的原权值），为∑(i from 1 to n)la[i]+lb[i]（为什么？) 而我们又知道对于任意一条边W，la[i] + lb[j] >= W(i , j)。因此原二分图的完备匹配（注意：n条边，涵盖所有2n个顶点）的n条边的权值之和不可能大于相等子图的完备匹配的权值之和！故此相等子图的完备匹配即为原二分图带权最大匹配！

　　证毕。

　　我们可以发现上述证明其实就是将问题转化为：如何求出适当的顶标值，使得相等子图拥有完备匹配。而相等子图的完备匹配（不带权！）可以用dfs求增广路解决（就是匈牙利算法的dfs部分）！

　　

　　下面我们来探讨如何给每个顶点求出适当的顶标值。

　　我们可以考虑开始赋以每个顶点一个初值，比如lb[i] = 0, la[i] = max(W(ai,?)),这样，对于任意一条边，都满足la[i] + lb[j] >= W(i,j)。

　　接下来，对{A}的每个顶点寻找它的“配偶”。