K倍区间

Posted 2021-02-14 isguxing

给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入
第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出
输出一个整数，代表K倍区间的数目。

例如，
输入：
5 2
1
2
3
4
5

程序应该输出：
6

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms

思路：纯粹思维题，时间复杂度O(n)。

我们知道前缀和sum[i]表示前 i 个数列的和，任意一个区间(i,j)和都可以由sum[ j ] - sum[ i ]计算得到。

判断区间(i,j)是否是k的倍数，我们是通过 （sum[ j ] - sum[ i ]）% k == 0 判断，即sum[ j ] %k == sum[ i ]%k。

现在我们对sum[ i ]进行一个简单处理，即在计算前缀和时保存sum[i]%k。

这时候我们只要判断sum[ j ] 前出现了多少个模与它相等的前缀和，就知道以 j 结尾的子区间有几个是k区间了。
此外，我们还要再加上所有前缀和为 0 的数目。

代码：

#include <iostream>
#define N 100000
#define ll long long int
using namespace std;
ll an[N], bn[N];
int n, k;

int main(){
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++ ){
        cin >> sum[i];
        sum[i] %= k;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        sum[i] = (sum[i] + sum[i-1])%k;
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        ans += (bn[sum[i]]++);
    }
    cout << ans + bn[0] << endl;
    return 0;
}