N皇后 八皇后 位运算解法

Posted 317zhang

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了N皇后 八皇后 位运算解法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

问题描述

什么是八皇后?

题目链接

N皇后

解法

? 直接在N*N的棋盘上进行深搜,试探着下棋,也就是回溯法。

? 对于一个皇后来说,我们需要判断她的 八个方向 ,即 主对角线,副对角线,行,列

? 1. 确定状态

? 第一眼的感觉是要用 四个数组来储存情况,但时间上只需要三个 ,把 行 排除在外

? 因为每次搜索的时候,都自动按搜索,也就是变量 row ,每改变一次,代表了不同的行

? 接下来,分析主对角线 ,对于N*N的矩阵来说,主对角线上的值满足 行和列的差为定值

? 即,做减法得到的下标是唯一的,因为数组没有 负值的索引 所以要 再差值的基础上,加n

? row - col + n 得到唯一的下标,

? 副对角线 ,行 列 之和为定值 row + col

? 直接利用下标 储存就行

? 2.试探着下棋 (回溯)

? i 代表列 ,每次搜索按列递进,这样保证了每一列,只可能放一个棋子

? lvis 代表 主对角线的状态 ,rvis 代表副对角线的状态 ,col 代表 列 的状态

? if 那段表示 ,如果 主对角线,副对角线,列 上都没有棋子落下

? 之后 改变状态 ,将 主对角线,副对角线,列 都设置为 1

? dfs(row + 1) 按行递进

? dfs(row + 1)执行完之后,退回到之前的状态:

? lvis,rvis,col 都置为 0 ,在这一行中找下一个可以放的位置

for(int i=1;i<=n;++i){
        if(!lvis[i-row+8]&&!rvis[i+row]&&!col[i]){
            lvis[i-row+8] = 1;
            rvis[i+row] = 1;
            col[i] = 1;
            ans[row] = i;
            dfs(row+1);
            lvis[i-row+8] = 0;
            rvis[i+row] = 0;
            col[i] = 0;
            }
        }

1.朴素解法(回溯)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e2+10;
bool lvis[N],rvis[N],col[N];
int n,tot,ans[N];
void dfs(int row){
    if(row == n+1){
         tot++;
         for(int i=1;i<=8;++i){
             cout<<ans[i]<<" ";
         }
         cout<<endl;
    }
    else {
        for(int i=1;i<=n;++i){
        if(!lvis[i-row+8]&&!rvis[i+row]&&!col[i]){
            lvis[i-row+8] = 1;
            rvis[i+row] = 1;
            col[i] = 1;
            ans[row] = i;//保存棋子的位置, 第row行,第i列;
            dfs(row+1);
            lvis[i-row+8] = 0;
            rvis[i+row] = 0;
            col[i] = 0;
            }
        }
    }
}
int main(){
    //cin>>n;
    n = 8;
    dfs(1);
    cout<<tot<<endl;
    return 0;
}

2.位运算解法(状态储存方式的不同)

? 根本思路是一样的,拿位运算解,就是把原先用数组储存状态的方式,改变为用 整数 int

? 因为 一个int 占 4个字节 4*8 个bit,所以相当于 含有 32个空间的数组

? 用位运算 大大降低了占用的空间支出

? 基本位运算操作

? 对于改变状态来说,无非就两种 ,1 和 0

? 对于特定位置 1 :

    a |= (1<<i);

? 把 1 左移 i 位 ,得到一个32位整数

? 假如 i 为 2

? (省略24位前置 0) 0000 0100

? 假如 i 为 1

? (省略24位前置 0) 0000 0010

? 假如 i 为 7

? (省略24位前置 0) 1000 0000

? 将其与 a 进行 或运算 ,原先 a上的第 i 位, 将被置为 1

? 对于特定位置 0:

    a &= ~(1<<i);

? ~运算 ,把各位上的值都取反

? 假如 i 为 2

? (省略24位前置 1) 1111 1011

? 假如 i 为 1

? (省略24位前置 1) 1111 1101

? 假如 i 为 7

? (省略24位前置 1) 0111 1111

? 将其与 a 进行 与运算 ,原先 a 上的第 i 位,将被置为 0

? 判断状态

? x 的第 i 位 是否为 1

    bool getbit(int x,int i){
        return !((x>>i) & 1);
    }

? 把 x 右移 i 位(这样当前 x 的第0 位,就是原先 x 的第 i 位), 和 1进行与运算

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e2+10;
int lvis,rvis,col;
int n,tot,ans[N];
bool getbit(int x,int i){
    return !((x>>i) & 1);
}
void dfs(int row){
    if(row == n+1){
         tot++;
         for(int i=1;i<=8;++i){
             cout<<ans[i]<<" ";
         }
         cout<<endl;
    }
    else {
        for(int i=1;i<=n;++i){
        if(getbit(lvis,i-row+8)&&getbit(rvis,i+row)&&getbit(col,i)){
            lvis |= (1<<(i-row+8));
            rvis |= (1<<(i+row));
            col |= (1<<i);
            ans[row] = i;
            dfs(row+1);
            lvis &= ~(1<<(i-row+8));
            rvis &= ~(1<<(i+row));
            col &= ~(1<<i);
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    //n = 8;
    dfs(1);
    cout<<tot<<endl;
    return 0;
}

(C++ 自带 bitset ,可以不用这么麻烦)

只要把 这行

bool lvis[N],rvis[N],col[N];

替换成这行

bitset<N> lvis,rvis,col;
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e2+10;
bitset<N> lvis,rvis,col;
int n,tot,ans[N];
void dfs(int row){
    if(row == n+1){
         tot++;
         for(int i=1;i<=8;++i){
             cout<<ans[i]<<" ";
         }
         cout<<endl;
    }
    else {
        for(int i=1;i<=n;++i){
        if(!lvis[i-row+8]&&!rvis[i+row]&&!col[i]){
            lvis[i-row+8] = 1;
            rvis[i+row] = 1;
            col[i] = 1;
            ans[row] = i;
            dfs(row+1);
            lvis[i-row+8] = 0;
            rvis[i+row] = 0;
            col[i] = 0;
            }
        }
    }
}
int main(){
    //cin>>n;
    n = 8;
    dfs(1);
    cout<<tot<<endl;
    return 0;
}

以上是关于N皇后 八皇后 位运算解法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

八皇后究竟有多少种解法?怎么解?

八皇后问题的遗传算法解法,c语言编写

n皇后(位运算)

P1562 还是N皇后

八皇后问题

Haskell的三种八皇后问题的解法