N皇后 八皇后 位运算解法

Posted 2021-02-14 317zhang

问题描述

什么是八皇后?

题目链接

N皇后

解法

? 直接在N*N的棋盘上进行深搜，试探着下棋，也就是回溯法。

? 对于一个皇后来说，我们需要判断她的 八个方向 ，即 主对角线，副对角线，行，列

? 1. 确定状态

? 第一眼的感觉是要用 四个数组来储存情况，但时间上只需要三个 ，把 行 排除在外

? 因为每次搜索的时候，都自动按行搜索，也就是变量 row ，每改变一次，代表了不同的行

? 接下来，分析主对角线 ，对于N*N的矩阵来说，主对角线上的值满足 行和列的差为定值

? 即，做减法得到的下标是唯一的，因为数组没有 负值的索引 所以要 再差值的基础上，加n

? row - col + n 得到唯一的下标，

? 副对角线 ，行 列 之和为定值 row + col

? 列 直接利用下标 储存就行

? 2.试探着下棋 （回溯）

? i 代表列 ，每次搜索按列递进，这样保证了每一列，只可能放一个棋子

? lvis 代表 主对角线的状态 ，rvis 代表副对角线的状态 ，col 代表 列 的状态

? if 那段表示 ，如果 主对角线，副对角线，列 上都没有棋子落下

? 之后 改变状态 ，将 主对角线，副对角线，列 都设置为 1

? dfs(row + 1) 按行递进

? dfs(row + 1)执行完之后，退回到之前的状态：

? lvis，rvis，col 都置为 0 ，在这一行中找下一个可以放的位置

for(int i=1;i<=n;++i){
        if(!lvis[i-row+8]&&!rvis[i+row]&&!col[i]){
            lvis[i-row+8] = 1;
            rvis[i+row] = 1;
            col[i] = 1;
            ans[row] = i;
            dfs(row+1);
            lvis[i-row+8] = 0;
            rvis[i+row] = 0;
            col[i] = 0;
            }
        }

1.朴素解法(回溯)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e2+10;
bool lvis[N],rvis[N],col[N];
int n,tot,ans[N];
void dfs(int row){
    if(row == n+1){
         tot++;
         for(int i=1;i<=8;++i){
             cout<<ans[i]<<" ";
         }
         cout<<endl;
    }
    else {
        for(int i=1;i<=n;++i){
        if(!lvis[i-row+8]&&!rvis[i+row]&&!col[i]){
            lvis[i-row+8] = 1;
            rvis[i+row] = 1;
            col[i] = 1;
            ans[row] = i;//保存棋子的位置， 第row行，第i列；
            dfs(row+1);
            lvis[i-row+8] = 0;
            rvis[i+row] = 0;
            col[i] = 0;
            }
        }
    }
}
int main(){
    //cin>>n;
    n = 8;
    dfs(1);
    cout<<tot<<endl;
    return 0;
}

2.位运算解法（状态储存方式的不同）

? 根本思路是一样的，拿位运算解，就是把原先用数组储存状态的方式，改变为用 整数 int

? 因为 一个int 占 4个字节 4*8 个bit，所以相当于 含有 32个空间的数组

? 用位运算 大大降低了占用的空间支出

? 基本位运算操作

? 对于改变状态来说，无非就两种 ，1 和 0

? 对于特定位置 1 :

    a |= (1<<i);

? 把 1 左移 i 位 ，得到一个32位整数

? 假如 i 为 2

? (省略24位前置 0) 0000 0100

? 假如 i 为 1

? (省略24位前置 0) 0000 0010

? 假如 i 为 7

? (省略24位前置 0) 1000 0000

? 将其与 a 进行 或运算 ，原先 a上的第 i 位， 将被置为 1

? 对于特定位置 0:

    a &= ~(1<<i);

? ~运算 ，把各位上的值都取反

? 假如 i 为 2

? (省略24位前置 1) 1111 1011

? 假如 i 为 1

? (省略24位前置 1) 1111 1101

? 假如 i 为 7

? (省略24位前置 1) 0111 1111

? 将其与 a 进行 与运算 ，原先 a 上的第 i 位，将被置为 0

? 判断状态

? x 的第 i 位 是否为 1

    bool getbit(int x,int i){
        return !((x>>i) & 1);
    }

? 把 x 右移 i 位（这样当前 x 的第0 位，就是原先 x 的第 i 位）， 和 1进行与运算

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e2+10;
int lvis,rvis,col;
int n,tot,ans[N];
bool getbit(int x,int i){
    return !((x>>i) & 1);
}
void dfs(int row){
    if(row == n+1){
         tot++;
         for(int i=1;i<=8;++i){
             cout<<ans[i]<<" ";
         }
         cout<<endl;
    }
    else {
        for(int i=1;i<=n;++i){
        if(getbit(lvis,i-row+8)&&getbit(rvis,i+row)&&getbit(col,i)){
            lvis |= (1<<(i-row+8));
            rvis |= (1<<(i+row));
            col |= (1<<i);
            ans[row] = i;
            dfs(row+1);
            lvis &= ~(1<<(i-row+8));
            rvis &= ~(1<<(i+row));
            col &= ~(1<<i);
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    //n = 8;
    dfs(1);
    cout<<tot<<endl;
    return 0;
}

（C++ 自带 bitset ，可以不用这么麻烦）

只要把 这行

bool lvis[N],rvis[N],col[N];

替换成这行

bitset<N> lvis,rvis,col;

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e2+10;
bitset<N> lvis,rvis,col;
int n,tot,ans[N];
void dfs(int row){
    if(row == n+1){
         tot++;
         for(int i=1;i<=8;++i){
             cout<<ans[i]<<" ";
         }
         cout<<endl;
    }
    else {
        for(int i=1;i<=n;++i){
        if(!lvis[i-row+8]&&!rvis[i+row]&&!col[i]){
            lvis[i-row+8] = 1;
            rvis[i+row] = 1;
            col[i] = 1;
            ans[row] = i;
            dfs(row+1);
            lvis[i-row+8] = 0;
            rvis[i+row] = 0;
            col[i] = 0;
            }
        }
    }
}
int main(){
    //cin>>n;
    n = 8;
    dfs(1);
    cout<<tot<<endl;
    return 0;
}