历届试题 带分数

Posted 2021-02-14 agoodday

  历届试题 带分数  

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问题描述

100 可以表示为带分数的形式：100 = 3 + 69258 / 714。

还可以表示为：100 = 82 + 3546 / 197。

注意特征：带分数中，数字1~9分别出现且只出现一次（不包含0）。

类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。

输入格式

从标准输入读入一个正整数N (N<1000*1000)

输出格式

程序输出该数字用数码1~9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。

注意：不要求输出每个表示，只统计有多少表示法！

样例输入1

100

样例输出1

11

样例输入2

105

样例输出2

6

 

 

思路：
首先，这个题用暴力枚举一定会超时的，所以我就没试。

为何暴力枚举会超时？

原因在于，暴力枚举会搜索到很庞大的没有用的数据，最后在十几万甚至几百万个组合中，也许仅仅只有十几种
组合符合条件，这就大大的浪费了时间。想要避免这类事件的发生，就要有好的剪枝条件。

如何建造好的剪枝条件？

本题说的是，n=a+b/c；那么首先a一定是小于n的，又因为n为整数，所以a和b/c都是整数，这就要求

b/c一定可以整除，所以b%c=0，b/c还要满足可除条件，即b>=c。剪枝的三个条件已经确定
(1).a<n；

(2).b%c=0；

(3).b>=c

再加上n=a+b/c就是四个条件了。只要在1至9的全排列中选取满足这四个条件的全排列就是所求的结果之一。

那么在1至9的全排列（9个数字）中如何确定a，b，c的取值范围呢？

a前面已经说过，而又知道，b一定大于或等于c，则b的取值范围一定在a选择过后去选择剩下的一半或一半以上的数据。举个例子，1至9的其中一个全排列--156987423，若a选择156，则b只能选择剩下的987423中的一半或
一半以上，如987、9874、98742。如果b小于剩下的一半，那么一定不满足除法（如98/7432）。c
的范围则是a和b选择剩下的所有了。这样我们就可以判定，假设num=9，a选择9位中的前n位，那
么b的结尾选择范围为第n+（num-n）/2至num-1位数字（结尾为一半或一半以上，最多时到num-1
，给c留一个数字）；
那么利用深度优先搜索（用来得到一个9位的全排列）和适当的判断（剪枝，找出符合3个条件并
且满足n=a+b/c的全排列）就可以解决。

 

 

 

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <vector>
 4 using namespace std;
 5 int aws=0;//计数器 
 6 vector<int> vec;//内部放有1-9 
 7 int sum(int start,int end)//将数字序列整合为数字 
 8 {
 9     int i,sum=0; 
10     for(i = start;i < end;i++)
11         sum=sum*10+vec[i]; 
12     return sum;
13 }
14 void Found(int m)//将permutation中的每一个全排列结果放在Found函数中检验
15 {
16     for(int i=0;i< vec.size();i++)
17     {
18          int m1=sum(0,i);//第一个数从1至9开始选
19          if(m1 >= m) return;//不满足第一个数<m的直接淘汰
20          for(int j=i + (vec.size() - i) / 2;j< vec.size(); j++)
21          {
22             int m2=sum(i,j);//第二个数
23             int m3=sum(j,vec.size());//第三个数
24             if(m2>m3&&m2%m3==0&&m==m1+m2/m3)
25             {
26                  aws++;
27             }
28          }
29     }
30 }
31 void permutation(int m)//对1~9进行全排列
32 {
33     sort(vec.begin(), vec.end());//全排列之前一定要排序 
34     do{
35         Found(m);
36     }while(next_permutation(vec.begin(), vec.end()));
37 }
38 int main()
39 {
40      int m;    
41      cin >> m;
42      for(int i = 1; i < 10; i++){
43          vec.push_back(i);
44     }
45     permutation(m);
46     
47      cout << aws << endl;
48 
49  return 0;
50 }