图论中四个最短路径算法

Posted 2020-11-05 yuyu-blog

(一)单源最短路径算法

1. Dijksta算法

要求图G(V,E)的所有边的权重都为非负值。

运用了贪心算法的思想，但是较好地的是，其找到的解一定是最优解。

 算法主要思想：

  用数组d[]表示开始节点A到其余节点的路径长度；用w(u,v)表示节点u到v的权值，若两节点无直接路径，则该值为无穷大；矩阵Q保存每次循环每个节点的dv]值，总结点数为n。

  初始时，开始节点到自身距离d[A]初值为0，到其余节点d[V]初值为无穷大。

  循环：对每个节点进行判断，若d[v]大于d[u]+w(u,v)，则令d[v]=d[u]+w(u,v)，即进行一次松弛操作。一次操作后，选取本次循环中d[i]最小的节点i为下次循环的节点u，这也是贪心的思想所在，即每次循环选取路径最短的节点为中间节点。

  上述进行循环n-1次。

  则d[v]为从初始节点到节点v的最短路径。

时间复杂度：O(V.Texteact-min+E.Tdecrease-key)。

2. Bellman-Ford算法

图G(V,E)中的边的权重可以为负值。

思想：

 在上述Dijkstra算法的思想上，增加了一个判断是否有负环路的操作，如果有负环路，则表示该图中不存在从初始节点到目标节点的最短路径。

判断是否存在负环路：松弛操作进行完后，判断若d[v]>d[u]+w(u,v)，则表示有负环路，报告错误。

时间复杂度：O(VE)。

(二)全源最短路径算法

3. Floyd-Warshall算法

要求图G(V,E)的所有边的权重都为非负值。

思想：

  用Ck(i,j)表示第k次循环后的矩阵C(i,j)，k从1到n。

该算法的框架为三层循环，最外层为循环次数，即一共生成n个矩阵C(,)，里面两层循环即n=k时对C(,)进行遍历填写。

C(i,j)表的填写为松弛操作：若C(i,j)>C(i,k)+C(k,j)，则C(i,j)=C(i,k)+C(k,j)。

时间复杂度：O(n^3)。

4. Johnson算法

图G(V,E)中的边的权重可以为负值。

思想：

  对权重重新赋值，使其新的权重不小于0，且保持各该图的最小路径关系，再利用Bellman-ford算法进行计算。

时间复杂度：O(VE+V^2LGV)。

 

匆忙写的，难免有错误的地方，要是发现了欢迎指正。