线段树

Posted 2021-02-14 darlingroot

定义：

线段树是一种二叉搜索树。

与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

 

对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，

它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，

右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。

因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

 

 

 

 

未优化的空间复杂度为2N，

实际应用时一般还要开4N的数组以免越界，

因此有时需要离散化让空间压缩。

 

先把对线段树的操作（用途？？）大概的分为两类吧

一、点修改

二、区间修改

 

一、点修改

动态范围最小值问题。

给出一个有n各元素的数组A₁,A₂,...,An，设计一个数据结构，支持以下两种操作

*** Update（x，v）：把A_x修改为v、

***Query（L，R）：计算min（A_L,A_L+1,...A_R）。

 

欸，看到“min（A_L,A_L+1,...A_R）”的时候是不是会很自然的想到ST表呢

但是

如果还是使用ST表算法，每次Update操作都需要重新计算d数组，时间无法承受（肯定会t掉的啊）

所以，还是需要用线段树啊

 

一点点规定：

每个非叶子结点都有左右两棵子树，分别对应线段的“左半”和“右半”。

为了方便，按照从上到下，从左到右的顺序给所有的结点编号为1,2,3，...，

那么，就会找到一个很显然的规律

编号为i的结点，其左右结点的编号分别为2i和2i+1

（没必要在这里纠结为什么，直观找规律就可以，而且真的真的很显然）

 

P199-3-9图

 

看图看图，就会发现一个小小的规律：

分为两种情况：

1.根结点是一个长度为2^h的区间。

　　a.第i层 有2ⁱ个结点，每个结点对应一个长度为2^h-i的区间

　　b.最大层编号为h，结点总数为1+2+4+8+...+2^h=2^h+1-1，略小于区间长度的二倍

2.当整个区间长度不是2的整数幂时，

　　虽然叶子不全在同一层，但输的最大层编号和结点总数仍满足上述结论（即情况1中的b条性质）

　　（因为说明对象是最大一层，就可以把这种情况当做，把最下面的那个不完整的一层给忽略掉，就转化成了第一种情况）

 

小提示：
不同题目中，线段可以有不同的含义。

 

维护：

光有这个线段树的图是远远不够了，为了解题，就需要维护一些更重要的东西

比如要维护“最小值”信息

就可以用一个数组minv保存这个附加信息

其中minv[o]表示结点o所对应的区间中所有元素的最小值。

在比个如（嘻嘻），[5,8]的编号为4，因此minv[3]=min{A₅,A₆,A₇,A₈}

 

查询

又一个小小的规律以及规定：

数的左右各有一条“主线”，虽然有分叉，但每层最多只有两个结点继续向下延伸，因此，“查询边界”结点不超过2h个（h为线段树的最大层编号）。

这实际上吧带查询线段分解成不超过2个不想交线段的并。

如图中[2,5]=[2]+[3,4]+[5]。在后文中，凡是遇到这样的区间分解，就把分解得到的各个区间叫做边界区间，因为它们对应于分解过程的递归边界

 

更新：

既要更新[i,i]对应的结点，又要更新他的所有祖先结点

 

查询&修改代码如下：

/*
o为当前结点的编号 
L和R是当前结点的左右端点（比如当o = 3的时候，L=5，R=8）
查询：全局变量ql，qr分别代表查询区间的左右端点 
修改：p，v分别代表修改点位置和修改后的数值 
*/

int ql,qr;//查询[ql,qr]中的最小值
int query(int o,int L,int R)
{
    int M = L + (R - L)/ 2,ans = INf;
    if(ql <= L&&R <= qr)//当前结点完全包含在查询区间内 
        return minv[o];
    if(ql <= M)//往左走 
        ans = min(ans,query(o*2,L,M));
    if(M < qr)//往右走 
        ans = min(ans,query(o*2,M+1,R));
    return ans;
}

int p,v;//修改：A[p] = v；
void update(int o,int L,int R)
{
    int M = L + (R - L)/ 2;
    if(L == M)//叶结点，直接更新minv 
        minv[o] = v;
    else
    {//L<R 
    //先递归更新左子树 
        if(p <= M)
            update(o*2,L,M);
        else
            update(o*2+1,M+1,R);
    //然后计算本结点的minv 
            minv[o] = min(minv[o*2],minv[o*2+1]);
    }         
}

 

 

建树：

方法一：

　　每读入一个元素x后执行修改操作A[i]=x，

　　时间复杂度位O（nlogn）。

方法二：

　　只需要事先设置好每个叶结点的值，自底向上递推（也可以写成递归）

　　每个结点只计算了一次，时间复杂度O（n）。

 

 

 

二、区间修改

快速序列操作I。

给出一个n个元素的数组A₁,A₂,...,An，设计一个数据结构，支持一下两种操作。

***Add（L,R,v）：把A_L,A_L+1,...A_R全部增加v。

***Query（L,R）：计算子序列A_L,A_L+1,...A_{R的元素和，最小值，最大值。}

 

这时就会想到维护3个信息：sum，min，max；分别对应三个查询值。

add操作为区间修改操作。

为了避免在最坏的情况下，区间修改影响到所有结点；就用lazy标记吧。

 

add操作：

依旧是把add分解成不超过2h个操作，记录在线段树的结点。

下图展现了执行完了add（L，R，v）的操作之后的情形：

eg.add(1,7,5)　　add(3,6,2)

　P202图

 

 

-----------------------代码分割线---------------------------

 

注：以下维护、修改、查询范围均是[y1,y2].

信息维护：

sum[o]为“如果只执行结点o及其子孙结点中的add操作，结点o对应区间中所有数之和”

（这样，每个原始add所影响的结点数目变成了O（h））

//维护结点o,他对应区间[L，R]
void maintain(int o,int L,int R)
{
    int lc = o * 2;//lc为左子树的编号
    int rc = o * 2 + 1;//rc为右子树的编号
    sumv[o] = minv[o] = maxv[o] = 0;//注意：非叶子节点本身是没有值的 
    if(R > L)//不是叶子结点，考虑左右子树 
    {
        sumv[o] = sumv[lc] + sumv[rc];//求和 
        minv[o] = min(minv[lc],minv[rc]);//取左、右子树中的最小值做最小值 
        maxv[o] = max(maxv[lc],maxv[rc]);//取左、右子树中的最大值左最大值 
    }
    minv[o] += addv[o];
    maxn[o] += addv[o];
    sumv[o] += addv[o] * (R - L + 1);
    //考虑add操作 
}

 

   修改：

在执行add操作时，递归访问的结点全部要调用，并且是在递归返回后调用

//修改结点o,对应区间[L，R]
void update(int o,int L,int R)
{
    int lc = o * 2;
    int rc = o * 2 + 1;
    if(y1 <= L && R <= y2)//递归边界 
        addv[o] += v;//累加边界的add值
    else
    {
        int M = L + (R - L)/ 2;
        if(y1 <= M)
            update(lc,L,M);
        if(y > M)
            update(rc,M+1,R);
    }
    maintain(o,L,R);//递归结束前，重新计算本结点的附加信息 
}

 

 

查询：

仍然是把查询区间递归分解为若干不相交自区间

把各个子区间的查询结果加以合并

同时考虑祖先结点对他的影响

为了方便，我们在递归查询函数中增加一个参数，用来表示当前区间的所有祖先结点add值之和

int _min,_max,_sum;//全局变量，目前位置的最小值、最大值、累加和
void query(int o,int L,int R,int add)
{
    if(y1 <= L && R <= y2)//递归边界，用边界区间的附加信息更新答案 
    {
        _sum += sumv[o] + add * (R - L + 1);
        _min = min(_min,minv[o] + add);
        _max = max(_max,maxn[o] + add);
    }
    else//递归统计，累加参数add 
    {
        int M = L + (R - L)/ 2;
        if(y1 <= M)
            update(o*2,L,M,add + addv[o]);
        if(y > M)
            update(o*2+1,M+1,R,add + addv[o]);
    }
}

 

 

快速序列操作II。

给出一个n个元素的数组A₁,A₂,...,An，设计一个数据结构，支持一下两种操作。

***Add（L,R,v）：把A_L,A_L+1,...A_R全部修改为v（v>=0）。

***Query（L,R）：计算子序列A_L,A_L+1,...A_R的元素和，最小值，最大值_。

 

不难想到把set操作也进行分解，但set操作的时间顺序会影响结果

所以

除了对本操作进行分解之外

还要修改以前分解好的操作

使任意两个set不存在祖先后代关系

 

举例说明：

在一颗根节点为[1,8]的线段树上先执行set（1,8,1）的操作，

在执行set（1,3,2）操作

 

做法：

　　首先，set（1,8,1）就简单设置根结点的set值为1

　　然后，将set（1,3,2）分为3个步骤

 

//标记传递
void pushdown(int o)
{
    int lc = o * 2,rc = o * 2 + 1;
    if(setv[o] >= 0)//本结点有标记才传递。本题中的前提为：set值为非负，所以-1代表没有标记 
    {
        setv[lc] = setv[rc] = setv[o];
        setv[o] = -1;//清除本结点标记 
    }
}

//修改操作代码
void update(int o,int L,int R)
{
    int lc = o * 2,rc = o * 2 + 1;
    if(y1 <= L && R <= y2)//标记修饰 
        setv[o] = v;
    else
    {
        pushdown(o);
        int M = L + (R - L)/2;
        if(y1 <= M)
            update(lc,L,M);
        else
            maintain(lc,L,M);
        if(y2 > M)
            update(rc,M+1,R);
        else
            maintain(rc,M+1,R);
    }
    maintain(o,L,R);
} 

 

注意：

　　与上一题相比，代码中多了两处maintain的调用。

　　这是因为，只要标记下传，该孩子书的附加信息必须重新计算。

　　对于本来就要递归访问的子树，递归访问结束之后自然会调用maintain

　　因此只需要针对不进行递归访问的子树调用maintain

 

 

如果先执行set（1,3,2）在执行set（1,8,1）

情形如下：

 

这违反了前面讲的“任意两个set操作不会存在祖先-后代关系”

但，我们还可以

以祖先结点上的操作为准，在递归查询是，一旦碰到一个set操作就立即停止

 

代码如下：

void query(int o,int L,int R)
{
    if(setv[o]>=0)
    {
        _sum += setv[o] * (min(R<y2) - max(L,y1) + 1);
        _min = min(_min,setv[o]);
        _max = max(_max,maxv[o]);
    }
    else
    if(y1 <= L&&y2 >= R)
    {
        _sum +=sumv[o];
        _min = min(_min,minv[o]);
        _max = max(_max,maxv[o]);
    }
    else
    {
        int M = L + (R - L)/2;
        if(y1 <= M)
            query(o * 2,L,M);
        if(y2 < M)
            query(o * 2,M+1,R);
    }
}