MT316常数变易法

Posted 2021-02-13 mathstudy

已知数列${a_n}$满足$a_1=0,a_{n+1}=dfrac{n+2}{n}a_n+1$,求$a_n$

解答:$dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}=dfrac{a_n}{n(n+1)}+dfrac{1}{n{n+1}}$
累加得$a_n=dfrac{n(n-1)}{2}$
注:这里关键是变形,可以用常数变易法获取.
提示:求通解$a_{n+1}=dfrac{n+2}{n}a_n$,累乘可以得到$a_{n+1}=dfrac{n(n+1)}{2}a_1$.

 

练习:
已知数列${x_n}$满足$x_{n+1}=left(dfrac 2{n^2}+dfrac 3n+1 ight)x_n+n+1,ninmathbf N^*,$且$x_1=3$,求数列${x_n}$的通项公式．

 

答案:$x_n=n^2(2n+1)$
提示:$dfrac{x_{n+1}}{(n+1)^2(n+2)}=dfrac{x_n}{n^2(n+1)}+dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$