算法7-1：图论简单介绍

Posted 2021-02-13 mqxnongmin

无向图

无向图由顶点和边组成。边用于连接两个顶点。

以下这张地图就是无向图的一个样例。

OPTEproject

OPTEproject的目标就是绘制整个互联网的样子。

下图是2010年的互联网。互联网也是无向图的一个样例。这张图是用LGL软件进行绘制的。有兴趣的同学可以研究一下：http://www.opte.org/

术语

在图论中，有些术语是必需要知道的，不然没办法学习。

顶点：图中最主要的元素

边：连接两个顶点的线就是边

路径：由一个顶点到还有一个顶点所经过的边

环：从一个顶点出发，经过一些边。最后到达原先的顶点。那么这个路径就是环。

连接部件：全部相互连接的顶点和边就是一个连接部件。一个图中可能会有多个连接部件。以下这张图中就有三个连接部件。

图论问题

和图论有关的问题在这里罗列一下。

最短路径：从一个顶点到还有一个顶点的最短路径是什么？

路径问题：从一个顶点能不能到达另外一个顶点呢？

是否有环：一张图中是否含有环？

欧拉旅行问题：从一个顶点出发。每条边仅仅能经过一次。要求经过全部的边，请问该怎么走？

哈密尔顿旅行问题：从一个顶点出发，每一个顶点仅仅能经过一次。要求经过全部的顶点。请问该怎么走？

连接问题：有没有办法可以连接全部的顶点呢？

MST：最小生成树。

怎样用最短的边连接全部的顶点？

双向连接：是否存在一个关键的顶点。使得它的移除会造成图断裂成两个部件？

是否平面：是否能让图在一个平面中表示，并且全部的边互不交叉？

图的同构：两张图是否等价？

下图是哥尼斯堡七桥问题。

从不论什么一个岛屿開始，每一个桥仅仅能走一次，要求经过全部的桥，该怎么走？当时哥尼斯堡无法求解这个问题，并且他也不是著名的人物，于是怀着渺茫的希望请教著名数学家欧拉，给他写了一封信。万万没想到非常快就得到了欧拉的回应。欧拉不但攻克了这个问题。并且还创立了一套图论。