codevs 2606 约数和（分块优化数学公式 ）

Posted 2021-02-13 zjl192628928

题目背景

Smart最近沉迷于对约数的研究中。

题目描述

对于一个数X，函数f(X)表示X所有约数的和。例如：f(6)=1+2+3+6=12。对于一个X，Smart可以很快的算出f(X)。现在的问题是，给定两个正整数X,Y(X<Y)，Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值，你能帮助Smart算出这个值吗？

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件仅一行，两个正整数X和Y（X<Y），表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y)。

 

输出格式：

 

输出只有一行，为f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值。

 

输入输出样例

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2 4

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14

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123 321

输出样例#2： 复制

72543

说明

对于20%的数据有1≤X＜Y≤105。

对于60%的数据有1≤X＜Y≤1*107。

对于100%的数据有1≤X＜Y≤2*109。

 

解题思路：首先我们定义一个F(x)=Σf(i)(i=1~x),所表示的是1-x的约数和，那么我们要求的答案即可表示成F(y)-F(x-1),现在的问题是对于任意x怎么求出F(x),我们知道对于任意一个数x在区间[1,n]中将会有n/x个数是x的倍数，所以我们就可以得到F(x)=Σi*(n/i) (i=1-x),我们可以举个例子：

例如：x=6；

由题目定义函数f(X)表示X所有约数的和

f(1)=1；

f(2)=1+2;

f(3)=1+3;

f(4)=1+2+4;

f(5)=1+5;

f(6)=1+2+3+6;

F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1*6+2*3+3*2=4*1+5*1+6*1,我们就可以发现对于每个约数i，其对应的系数为x/i。

不过我们可以很容易发现这种做法的复杂度为O(y),而y的范围为1≤Y≤2*109，这样做肯定是超时的，所以我们必须想办法对我们的公式进行优化，又由公式F(x)=∑(⌊x/i?⌋∗i) (其中i=1~x) ,我们经过分析会发现由于x/i向下取整的特性，会导致有连续多个i对应x/i的值相同，我们可以举个例子：

对于当x=12，F（12）来说：

约数i：             1        2    3    4    5   6   7    8    9    10    11    12

对应系数x/i:      12      6    4    3   2   2    1    1    1     1      1      1

对于刚才的思路我们是直接枚举求和即F(12)=1*12+2*6+3*4+4*3+5*2+6*2+7*1+8*1+9*1+10*1+11*1+12*1，而这必定也会超时的。

但是由上面列举的情况我们可以发现，对于同一个系数，出现多个i值时，这些i的值时成等差数列的，对于该部分我们可以把它看成是一块，即采用分块思想，该部分我们可以直接采用等差求和公式O（1）便可得出结果，即假设约数i=l到i=r，其对应的系数x/i都为同一个值时，该部分对答案的贡献值为（r-l+1）*(l+r)/2再乘对应权值即x/i;采用这种思路的话，上面的例子我们的计算方法就变成

F(12)=12*(1-1+1)*(1+1)/2+6*(2-2+1)*(2+2)/2+4*(3-3+1)*(3+3)/2+3*(4-4+1)*(4+4)/2+2*(6-5+1)*(5+6)/2+1*(12-7+1)*(7+12)/2;

当n很大时，这样便可以大大提高算法的效率了。

不过对上面公式中出现的l和r怎么求呢？l比较好求，观察上面的数列，每计算一次l就变成上一个r加1，初始l=1。

而对于r，r=x/(x/l);其中x/l表示的是系数，我们需要找到一个最大的数r使得x/r=x/l，即r=x/(x/l),例如例子中l=7时，我们需要找到一个最大的数r使得12/r=12/7,所以r=12/(12/7);

这样我们的思路就理顺了，

 

首先初始化l=1，r=0,ans=0,

计算r的值r=x/(x/l);

利用等差求和公式求系数为x/i的约束对答案的贡献，即ans+=(x/l)*（r-l+1）*(r+1)/2;

l=r+1,进入下一块区域。

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL maxn=1e6+10;
int n,q,m,r,tot,time;
LL cal(LL x){
    LL l=1,r=0,ans=0;
    while(l<=x){
        r=x/(x/l);  //计算这块的右边界
        ans+=(x/l)*(r-l+1)*(l+r)/2; //答案加上系数为x/l的块的贡献值 等差求和
        l=r+1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    LL x,y;
    cin>>x>>y;
    cout<<cal(y)-cal(x-1)<<endl;
    return 0;
}