[xsy2913]enos

Posted 2021-02-13 jefflyy

题意：一棵树，点有$0,1,2$三种颜色，支持路径修改颜色和查询点所在同色连通块的大小

lcm太可怕了，于是去问了sk，得到一个优质做法

考虑lct维护子树信息，$vs_{x,i}$为$x$的虚儿子中，以颜色为$i$的节点为根的同色连通块大小之和，$s_{x,i}$表示splay上$x$的子树$vs_{x,i}$之和，切换虚实时更新$vs$，splay上pushup时更新$s$即可

如果每时每刻都保持同一棵splay中点的颜色都相同，那么询问时只需模仿access的过程，不停往上拼接同色splay，最后得到的splay的根节点$x$的$s_{x,c_x}+siz_x$就是答案，我们把这种access称为按颜色access

现在考虑修改，先求lca，把修改拆成两个祖先后代链，假设这条祖先后代链为$y ightarrow x$，$y$是$x$的祖先

先对$fa_y$按颜色access，再对$x ightarrow y$无条件access，对得到的splay打标记即可

这棵splay可能会作为某个点的虚儿子，看起来要一直往上更新，实际上最多更新往上的两棵splay即可

设往上的三棵splay为$T_1,T_2,T_3$，因为$T_1$是按颜色access得到的，所以$c_{T_1} eq c_{T_2}$

首先$T_1$显然需要更新，然后因为$T_2$需要用到$T_1$的信息，所以当$y ightarrow x$这条链在修改前或修改后的颜色$=c_{T_1}$时，$T_1$的$s_{x,c_{T_1}}$会变化，进而影响$T_2$的$s_{x,c_{T_1}}$

幸运地，$T_3$只需要用到$T_2$的$s_{x,c_{T_2}}$信息，又因为$c_{T_1} e c_{T_2}$，所以从$T_3$开始往上的那些splay都无需更新

最后是无条件access所引发的一些小问题，在按颜色access时，我们可以快速而准确地更新一个节点的$vs$，但无条件access时，splay中可能含有不同颜色的点，这时不能直接用$s_{x,c_x}+siz_x$来计算$x$对父亲的$vs$的贡献

解决方法很简单：在拼接$x$和$y$之前先算出$x$对父亲的旧贡献，减掉即可，又因为一个节点原来的实儿子的splay子树中都是同颜色的点，这部分的贡献可以直接按原来的方法算

于是整道题就做完了，这个题还是挺好的==

再次orzsk和dtz两位人形自走dspedia

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
namespace t{
	int h[100010],nex[100010],to[100010],M;
	void add(int a,int b){
		M++;
		to[M]=b;
		nex[M]=h[a];
		h[a]=M;
	}
	int fa[100010][17],dep[100010],siz[100010];
	void dfs(int x){
		dep[x]=dep[fa[x][0]]+1;
		siz[x]=1;
		for(int i=h[x];i;i=nex[i]){
			if(to[i]!=fa[x][0]){
				dfs(to[i]);
				siz[x]+=siz[to[i]];
			}
		}
	}
	void work(){
		int i,j;
		for(i=2;i<=n;i++){
			scanf("%d",fa[i]);
			add(fa[i][0],i);
		}
		dfs(1);
		for(j=1;j<17;j++){
			for(i=1;i<=n;i++)fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
		}
	}
	int lca(int x,int y){
		int i;
		if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
		for(i=16;i>=0;i--){
			if(dep[fa[x][i]]>=dep[y])x=fa[x][i];
		}
		if(x==y)return x;
		for(i=16;i>=0;i--){
			if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
				x=fa[x][i];
				y=fa[y][i];
			}
		}
		return fa[x][0];
	}
}
namespace l{
	int ch[100010][2],fa[100010],r[100010],siz[100010],s[100010][3],vs[100010][3],d[100010],c[100010];
	#define ls ch[x][0]
	#define rs ch[x][1]
	void pushup(int x){
		for(int i=0;i<3;i++)s[x][i]=s[ls][i]+s[rs][i]+vs[x][i];
		r[x]=rs?r[rs]:x;
		siz[x]=siz[ls]+siz[rs]+1;
	}
	void rot(int x){
		int y,z,f,b;
		y=fa[x];
		z=fa[y];
		f=ch[y][0]==x;
		b=ch[x][f];
		fa[x]=z;
		fa[y]=x;
		if(b)fa[b]=y;
		ch[x][f]=y;
		ch[y][f^1]=b;
		if(ch[z][0]==y)ch[z][0]=x;
		if(ch[z][1]==y)ch[z][1]=x;
		pushup(y);
		pushup(x);
	}
	void set(int x,int v){
		d[x]=c[x]=v;
	}
	void pushdown(int x){
		if(~d[x]){
			if(ls)set(ls,d[x]);
			if(rs)set(rs,d[x]);
			d[x]=-1;
		}
	}
	bool isrt(int x){return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;}
	void gao(int x){
		if(!isrt(x))gao(fa[x]);
		pushdown(x);
	}
	void splay(int x){
		gao(x);
		int y,z;
		while(!isrt(x)){
			y=fa[x];
			z=fa[y];
			if(!isrt(y))rot((ch[z][0]==y)^(ch[y][0]==x)?x:y);
			rot(x);
		}
	}
	void work(){
		int i;
		for(i=1;i<=n;i++){
			fa[i]=t::fa[i][0];
			r[i]=i;
			d[i]=-1;
			siz[i]=1;
			vs[i][0]=s[i][0]=t::siz[i]-1;
		}
	}
	#define v(x) (s[x][c[x]]+siz[x])
	void access(int x,int z){
		int y,t;
		splay(x);
		y=0;
		t=0;
		while(x){
			splay(x);
			if(r[x]==z)break;
			vs[x][c[rs]]+=v(rs);
			vs[x][c[y]]-=t;
			t=v(x);
			rs=y;
			pushup(x);
			y=x;
			x=fa[x];
		}
	}
	int query(int x){
		int y,v;
		splay(x);
		y=0;
		v=c[x];
		while(x){
			splay(x);
			if(c[x]!=v)break;
			vs[x][c[rs]]+=v(rs);
			vs[x][c[y]]-=v(y);
			rs=y;
			pushup(x);
			y=x;
			x=fa[x];
		}
		return s[y][v]+siz[y];
	}
}
void modify(int x,int y,int v){
	using namespace l;
	int z=t::fa[y][0];
	if(z){
		query(z);
		splay(z);
		if(fa[z]){
			splay(fa[z]);
			vs[fa[z]][c[z]]-=v(z);
		}
		splay(y);
		vs[z][c[y]]-=v(y);
	}
	access(x,z);
	splay(x);
	set(x,v);
	if(z){
		splay(y);
		vs[z][c[y]]+=v(y);
		pushup(z);
		if(fa[z]){
			vs[fa[z]][c[z]]+=v(z);
			pushup(fa[z]);
		}
	}
}
int main(){
	int m,i,x,y,z,k;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	t::work();
	l::work();
	while(m--){
		scanf("%d",&i);
		if(i==1){
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
			k=t::lca(x,y);
			modify(x,k,z);
			modify(y,k,z);
		}else{
			scanf("%d",&x);
			printf("%d
",l::query(x));
		}
	}
}