P4313 文理分科 最小割

Posted 2021-02-13 olinr

$ color{#0066ff}{ 题目描述 }$

文理分科是一件很纠结的事情！（虽然看到这个题目的人肯定都没有纠结过）

小P所在的班级要进行文理分科。他的班级可以用一个n*m的矩阵进行描述，每个格子代表一个同学的座位。每位同学必须从文科和理科中选择一科。同学们在选择科目的时候会获得一个满意值。满意值按如下的方式得到：

1. 如果第i行第秒J的同学选择了文科，则他将获得art[i][j]的满意值，如果选择理科，将得到science[i][j]的满意值。
2. 如果第i行第J列的同学选择了文科，并且他相邻（两个格子相邻当且仅当它们拥有一条相同的边）的同学全部选择了文科，则他会更开心，所以会增加same_art[i][j]的满意值。
3. 如果第i行第j列的同学选择了理科，并且他相邻的同学全部选择了理科，则增加same_science[i][j]的满意值。

小P想知道，大家应该如何选择，才能使所有人的满意值之和最大。请告诉他这个最大值。

(color{#0066ff}{输入格式})

第一行为两个正整数：n，m

接下来n行m个整数，表示art[i][j]；

接下来n行m个整数．表示science[i][j]；

接下来n行m个整数，表示same_art[i][j]；

接下来n行m个整数，表示same_science[i][j]；

(color{#0066ff}{输出格式})

输出为一个整数，表示最大的满意值之和

(color{#0066ff}{输入样例})

3 4
13 2 4 13
7 13 8 12
18 17 0 5
8 13 15 4
11 3 8 11
11 18 6 5
1 2 3 4 
4 2 3 2
3 1 0 4
3 2 3 2
0 2 2 1
0 2 4 4 

(color{#0066ff}{输出样例})

152

(color{#0066ff}{数据范围与提示})

1表示选择文科，0表示选择理科，方案如下：

1 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 0

N,M<=100,读入数据均<=500

(color{#0066ff}{题解})

根据题目，每个人要么选文，要么选理，当然是最小割了

然后我们考虑建图

首先最基本的，显然可以弄出n*m个点，s向这些点连文科的边，这些点向t连理科的边

割掉哪个哪个不选

对于每一个额外的值，只要那些人中有一个人没符合要求，就必须剪掉！

也就是说，如果不割掉，那么就联通了

可以建立一个虚点，s向虚点连文科额外的分，这个虚点向对应的(1-5)个点连inf的边（割不了）

这样的话，理科有一个边没割（代表有人选理）就不会获得文科额外价值，理科同理也建立虚点

最后总共的-最大流(最小割)即可

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
    char ch; LL x = 0, f = 1;
    while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
    for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
    return x * f;
}
const int inf = 0x7ffffff;
const int maxn = 1e5 + 10; 
const int maxm = 120;
struct node {
    int to, can;
    node *nxt, *rev;
    node(int to = 0, int can = 0, node *nxt = NULL): to(to), can(can), nxt(nxt) { rev = NULL; }
};
node *head[maxn], *cur[maxn];
int dep[maxn];
int wen[maxm][maxm], li[maxm][maxm], ww[maxm][maxm], ll[maxm][maxm];
int n, m, s, t, tot;
bool bfs() {
    for(int i = s; i <= t; i++) dep[i] = 0, cur[i] = head[i];
    std::queue<int> q;
    dep[s] = 1;
    q.push(s);
    while(!q.empty()) {
        int tp = q.front(); q.pop();
        for(node *i = head[tp]; i; i = i->nxt) 
            if(!dep[i->to] && i->can) 
                dep[i->to] = dep[tp] + 1, q.push(i->to);
    }
    return dep[t];
}
int dfs(int x, int change) {
    if(x == t || !change) return change;
    int flow = 0, ls;
    for(node *&i = cur[x]; i; i = i->nxt) {
        if(dep[i->to] == dep[x] + 1 && (ls = dfs(i->to, std::min(change, i->can)))) {
            flow += ls;
            change -= ls;
            i->can -= ls;
            i->rev->can += ls;
            if(!change) break;
        }
    }
    return flow;
}
int id(int x, int y) { return (x - 1) * m + y; }
void add(int from, int to, int can) {
    head[from] = new node(to, can, head[from]);
}
void link(int from, int to, int can) {
    add(from, to, can), add(to, from, 0);
    (head[from]->rev = head[to])->rev = head[from];
}
int dinic() {
    int flow = 0;
    while(bfs()) flow += dfs(s, inf);
    return flow;
}
        
int main() {
    n = in(), m = in();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            wen[i][j] = in();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            li[i][j] = in();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            ww[i][j] = in();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            ll[i][j] = in();


    
    int tot = 0;
    s = 0, t = 3 * n * m + 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            tot += wen[i][j];
            link(s, id(i, j), wen[i][j]);
            tot += li[i][j];
            link(id(i, j), t, li[i][j]);
        }
    int now = n * m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            now++;
            link(s, now, ww[i][j]), tot += ww[i][j];
            link(now, id(i, j), inf);
            if(i != 1) link(now, id(i - 1, j), inf);
            if(i != n) link(now, id(i + 1, j), inf);
            if(j != 1) link(now, id(i, j - 1), inf);
            if(j != m) link(now, id(i, j + 1), inf);
        }
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            now++;
            link(now, t, ll[i][j]), tot += ll[i][j];
            link(id(i, j), now, inf);
            if(i != 1) link(id(i - 1, j), now, inf);
            if(i != n) link(id(i + 1, j), now, inf);
            if(j != 1) link(id(i, j - 1), now, inf);
            if(j != m) link(id(i, j + 1), now, inf);
        }
    printf("%d
", tot - dinic());
    return 0;
}