模板 - 动态规划 - 数位dp

Posted 2021-02-13 yinku

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了模板 - 动态规划 - 数位dp相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

int a[20];
ll dp[20][20/*可能需要的状态1*/][20/*可能需要的状态2*/];//不同题目状态不同
ll dfs(int pos,int state1/*可能需要的状态1*/,int state2/*可能需要的状态2*/,bool lead/*这一位的前面是否为零*/,bool limit/*这一位是否取值被限制（也就是上一位没有解除限制）*/)
//不是每个题都要处理前导零
{
    //递归边界，最低位是0，那么pos==-1说明这个数枚举完了
    if(pos==-1)
        return 1;/*这里返回1，表示枚举的这个数是合法的，那么这里就需要在枚举时必须每一位都要满足题目条件，也就是说当前枚举到pos位，一定要保证前面已经枚举的数位是合法的。 */
    //第二个就是记忆化(在此前可能不同题目还能有一些剪枝)
    if(!limit && !lead && dp[pos][state1][state2]!=-1)
        return dp[pos][state1][state2];
    /*常规写法都是在没有限制的条件记忆化，这里与下面记录状态对应*/
    int up=limit?a[pos]:9;//根据limit判断枚举的上界up
    ll ans=0;
    //开始计数
    for(int i=0;i<=up;i++)//枚举，然后把不同情况的个数加到ans就可以了
    {
        int new_state1=???;
        int new_state2=???;
        /*
        计数的时候用continue跳过不合法的状态，不再搜索
        */

        //合法的状态向下搜索
        ans+=dfs(pos-1,new_state1,new_state2,lead && i==0,limit && i==a[pos]);//最后两个变量传参都是这样写的
    }
    //计算完，记录状态
    if(!limit && !lead)
        dp[pos][state1][state2]=ans;
    /*这里对应上面的记忆化，在一定条件下时记录，保证一致性，当然如果约束条件不需要考虑lead，这里就是lead就完全不用考虑了*/
    return ans;
}

ll solve(ll x)
{
    //可能需要特殊处理0或者-1
    if(x<=0)
        return ???;

    int pos=0;
    while(x)//把数位分解
    {
        a[pos++]=x%10;//编号为[0,pos)，注意数位边界
        x/=10;
    }

    return dfs(pos-1/*从最高位开始枚举*/,0/*可能需要的状态1*/,0/*可能需要的状态2*/,true,true);//刚开始最高位都是有限制并且有前导零的，显然比最高位还要高的一位视为0嘛
}

int main()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    //一定要初始化为-1

    ll le,ri;
    while(~scanf("%lld%lld",&le,&ri))
    {
        printf("%lld
",solve(ri)-solve(le-1));
    }
}

其实另一种计数写法对别的题目有一定的启发性，需要特别注意的是，无论哪种写法的dp结果中存的数字都是和le与ri无关的。所以在数位受限时不能取用计算过的dp值，也不能更新dp值，不受限的情况可以重复利用。

无注释版：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

int a[20];
ll dp[20][MAXS1][MAXS2];
ll dfs(int pos,int s1,int s2,bool lead,bool limit) {
    if(pos==-1) {
        return ?;
    }
    if(!limit && !lead && dp[pos][s1][s2]!=-1)
        return dp[pos][s1][s2];
    int up=limit?a[pos]:9;
    ll ans=0;
    for(int i=0; i<=up; i++) {
        int ns1=op1(s1);
        int ns2=op2(s2);
        ans+=dfs(pos-1,ns1,ns2,lead && i==0,limit && i==a[pos]);
    }
    if(!limit && !lead)
        dp[pos][s1][s2]=ans;
    return ans;
}

ll solve(ll x) {
    if(x<=0)
        return ?;

    int pos=0;
    while(x) {
        a[pos++]=x%10;
        x/=10;
    }

    return dfs(pos-1,INITS1,INITS2,true,true);
}

int main() {
    memset(dp,-1,sizeof(dp));

    ll le,ri;
    while(~scanf("%lld%lld",&le,&ri)) {
        printf("%lld
",solve(ri)-solve(le-1));
    }
}

一个更简单的模板，去掉了很多奇奇怪怪的东西，比如前导0，前导0的确应该特殊考虑而不能一概而论。

int dfs(int i, int s, bool e) {
    if (i==-1) return s==target_s;
    if (!e && ~f[i][s]) return f[i][s];
    int res = 0;
    int u = e?num[i]:9;
    for (int d = first?1:0; d <= u; ++d)
        res += dfs(i-1, new_s(s, d), e&&d==u);
    return e?res:f[i][s]=res;
}