数论----gcd和lcm

Posted 2021-02-13 frankchen831x

gcd即最大公约数，lcm即最小公倍数。

首先给出a×b=gcd×lcm

证明：令gcd(a,b)=k,a=xk,b=yk,则a×b=x*y*k*k，而lcm=x*y*k，所以a*b=gcd*lcm。

所以求lcm可以先求gcd，而求gcd的方法就是辗转相除法，也叫做欧几里德算法，核心为gcd(m,n)=gcd(n,m%n)

证明：令 k=gcd(m,n),则 k|m 并且 k|n;

　　令 j=gcd(n, m mod n), 则j|n 并且 j|(m mod n);

　　对于m, 可以用n 表示为 m=pn+(m mod n);

　　由引理可知 j|m（其中 x=p,y=1）, 又 j|n，于是 j 是 m 和 n 的公约数（但不一定是最大的）;

　　因为 k 是 m 和 n 的最大公约数，所以必有 k≥j;

　　通过另一种表示形式：(m mod n)=m-pn,同理可得：

　　k|(m mod n),又k|n，于是 k 是 (m mod n) 和 n 的公约数（也不一定是最大的）;

　　同样由 j 是 n 和 (m mod n) 的最大公约数可以得到 j≥k;

　　由常识，得出结论 k=j,

　　即gcd(m,n) = gcd(n, m mod n) ，得证。

 

 代码实现：

while循环：

1 LL gcd(LL a, LL b){
2     LL t;
3     while(b){
4         t = b;
5         b = a % b;
6         a = t;
7     }
8     return a;
9 }

递归：

1 LL gcd(LL a, LL b){
2     return b ? gcd(b, a%b) : a;
3 }

求lcm=a*b/gcd即可，但碰到一些恐怖的数据可能会溢出，应改成lcm=a/gcd*b。

最后给出一些公式：

gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)

lcm(ka, kb) = k * lcm(a, b)

lcm(S/a, S/b) = S/gcd(a, b)

 

参考：https://www.cnblogs.com/ider/archive/2010/11/16/gcd_euclid.html

　　    https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5167914.html