P3690 模板Link Cut Tree (动态树)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了P3690 模板Link Cut Tree (动态树)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

LCT

维护一个森林, 支持很多操作,比如:

  • 维护链上信息(min,max,sum,xor。。。。。。)

  • 换根

  • 动态维护联通性
  • 维护子树信息

概念

虚边:连接儿子与父亲,儿子记录父亲,父亲不记录儿子(父不认子)

实边:父子互认,互相记录

每棵树维护多棵splay(常数大。。。QAQ)


性质

  • 每一个splay维护从上到下按在原树中的深度严格递增的路径,且中序遍历splay得到的每个点的深度序列严格递增

  • 每个节点包含且仅包含于一个splay中

  • 实边在splay中,由一棵Splay指向另一Splay的边为虚边 (这条边是该splay中中序遍历最靠前的点和其原树中父亲相连的边)

    技术图片

绿框中的为一个splay里面都是实边

连接两个splay的是虚边

注意,虚边中父亲不认孩子

  • 某个点有多个儿子,只能认一个儿子拉入Splay中

其它不行!(splay深度严格递增) 其它儿子父亲不认(虚边)

由儿子所属的Splay的根的父节点指向该点,且父不认子。。。


一些操作

  • access(基础)

作用:打通根到某一节点的实链,放在同一splay中,且此节点的深度最深!

方式:虚边变实边,然后为了维护性质,原来实边变为虚边, 由根到此节点的路径上全为实边, 而且由于它是最深的,他下面都是虚的!!

技术图片**

实现:

void access(node *x) {   
   for(node *y = NULL; x; x = (y = x)->fa) //无论实边虚边,x都记录了父亲,所以可以一直跳到根
       splay(x), x->ch[1] = y, x->upd(); //把x转上来,虚实变换,然后维护信息
}

技术图片

由于深度关系,y一定在x右边,然后让x认亲(虚变实),同时原来的实边不存在了

因为x重新认亲了,之后x继续向上。。。。。。

  • makeroot

作用:将x转变为他所在子树的根

方式:access开路(将其与根放在同一splay上)

splay它,把它转上去,然后翻转左右儿子!

为什么要翻转呢??解释一下

 技术图片

上面分别为(splay前,splay后,翻转后)

splay后,x已经成为了根,所以深度浅于原根,很明显此时不满足性质,所以翻转左右儿子!

  • split(x,y)

作用:琛出一条(x o y)的路径

void split(node *x, node *y) {
   makeroot(x);    //让x城成为根 
   access(y);      //打通y到根x的路径,那么现在x->y的路径就在一棵Splay里了
   splay(y);       //转上y更新信息
}
  • findroot(x)

作用:返回x所在树的根(动态判断图的联通性)

方式:access(x),splay(x) 打通x与根的路并转上去,让x一直往左跳并下放翻转标记

看上图splay前和splay后,转后x到了根的位置,但并不是我们所求的根

实际的根由于转前深度最浅到了左儿子处,因此一直往左找就一定是根

  • link(x,y)

作用:连接x,y

方式:把x转成根,直接连

void link(node *x, node *y) {
    makeroot(x);        //x成为根
    if(findroot(y) != x) x->fa = y;   //如果根不是x,说明不在一棵树里,否则直接连虚边
}
  • cut(x,y)

作用:断掉x与y的边(前提是有边。。。)

实现:直接打通(x o y)的路径,然后断边就行,前提是数据合法。。。

void cut(node *x, node *y) {
    split(x, y);
    if(y->ch[0] == x) y->ch[0] = x->fa = NULL;
}

2019.1.11upd

摒弃原来丑陋代码

换上清真的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
LL in() {
    char ch; int x = 0, f = 1;
    while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
    for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
    return x * f;
}
const int maxn = 3e5 + 5;
struct LCT {
protected:
    struct node {
        node *ch[2], *fa;
        int val, num, rev;
        node(int val = 0, int num = 0, int rev = 0): val(val), num(num), rev(rev) {
            ch[0] = ch[1] = fa = NULL;
        }
        bool ntr() { return fa && (fa->ch[0] == this || fa->ch[1] == this); }
        bool isr() { return this == fa->ch[1]; }
        void trn() { std::swap(ch[0], ch[1]), rev ^= 1; }
        void upd() {
            num = val;
            if(ch[0]) num ^= ch[0]->num;
            if(ch[1]) num ^= ch[1]->num;
        }
        void dwn() {
            if(!rev) return;
            if(ch[0]) ch[0]->trn();
            if(ch[1]) ch[1]->trn();
            rev = 0;
        }
    };
    node s[maxn], *t[maxn];
    int top;
    void rot(node *x) {
        node *y = x->fa, *z = y->fa;
        int k = x->isr(); node *w = x->ch[!k];
        if(y->ntr()) z->ch[y->isr()] = x;
        x->ch[!k] = y, y->ch[k] = w;
        y->fa = x, x->fa = z;
        if(w) w->fa = y;
        y->upd(), x->upd();
    }
    void splay(node *o) {
        t[top = 1] = o;
        while(t[top]->ntr()) t[top + 1] = t[top]->fa, top++;
        while(top) t[top--]->dwn();
        while(o->ntr()) {
            if(o->fa->ntr()) rot(o->isr() ^ o->fa->isr()? o : o->fa);
            rot(o);
        }
    }
    void access(node *x) {
        for(node *y = NULL; x; x = (y = x)->fa)
            splay(x), x->ch[1] = y, x->upd();
    }
    void makeroot(node *x) { access(x), splay(x), x->trn(); }
    node *findroot(node *x) {
        access(x), splay(x);
        while(x->dwn(), x->ch[0]) x = x->ch[0];
        return x;
    }
    void link(node *x, node *y) {
        if(findroot(x) == findroot(y)) return;
        makeroot(x), x->fa = y;
    }
    void cut(node *x, node *y) {
        makeroot(x), access(y), splay(y);
        if(y->ch[0] == x) y->ch[0] = x->fa = NULL;
    }
    void change(node *x, int y) { splay(x), x->val = y, x->upd(); }
    int query(node *x, node *y) {
        makeroot(x), access(y), splay(y);
        return y->num;
    }
public:
    void init(int len) { for(int i = 1; i <= len; i++) s[i].val = s[i].num = in(); }
    int query(int x, int y) { return query(s + x, s + y); }
    void link(int x, int y) { link(s + x, s + y); }
    void cut(int x, int y) { cut(s + x, s + y); }
    void change(int x, int y) { change(s + x, y); }
}s;
int n, m;
int main() {
    n = in(), m = in();
    s.init(n);
    while(m --> 0) {
        int flag = in(), x = in(), y = in();
        if(flag == 0) printf("%d
", s.query(x, y));
        if(flag == 1) s.link(x, y);
        if(flag == 2) s.cut(x, y);
        if(flag == 3) s.change(x, y);
    }
    return 0;
}

以上是关于P3690 模板Link Cut Tree (动态树)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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