数论函数相关

Posted 2021-02-12 pump-six

数论函数相关

前言 :

由于本人脑子生锈严重 , 所以整理了这个东西拯救一下自己的数学
然而问题在于下文的很多问题我都没有完全理解完全没有理解 , 所以出锅概率极高99.99%
所以如果您在阅读过程中发现我出锅了的话 , 请联系我修锅
QQ: 2362687579 ,邮箱 : [email protected]
验证的话就写"辣鸡dntkm出来挨打"就好了quq

积性函数

若对于函数(f)在(gcd(a,b)=1)时，有(f(a*b)=f(a)*f(b))，则称(f)为积性函数

特别的，若函数(f)无论(gcd(a,b))，都有(f(a*b)=f(a)*f(b)quad)则称(f)为完全积性函数

*注：目前常用的数论函数多为积性函数

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Dirichlet卷积

定义两个数论函数的Dirichlet卷积为：
[ (f * g)(n) = sum_{d|n}f(d)*g(frac{n}{d}) ]

满足：
?交换律： ((f*g)=(g*f))
?结合律： ((f*g)*h=f*(g*h))
?分配律： ((f+g)*h=f*h+g*h)

*注：两个积性函数的Dirichlet卷积仍为积性函数
大概把它当成长得比较奇怪的乘法就好

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常见数论函数（积性）

莫比乌斯函数 (mu)

[mu(d) quad = quad egin{cases} 1quadqquad(d=1) (-1)^{k}quad(d=p_1p_2...p_k,forall p_i eq p_j) 0 quadqquad (otherwise) end{cases}]

莫比乌斯函数的性质

[sum_{d|n}mu(d) quad = quad [n=1] qquad quad egin{cases}1quad(n=1) \0quad(n eq1)end{cases} \ quad 写为Dirichlet卷积形式为：mu*I=epsilon\ quad 即：(mu*I)(n)= sum_{d|n}mu(d)*I(frac{n}{d})= sum_{d|n}mu(d) = [n=1] = epsilon(n) 证 : sum_{d|n} mu(d) = sum_{k=0}^{s} (-1)^k C_{s}^{k} = (1-1)^s = 0 ]

欧拉函数 (varphi)

[ varphi(n) quad = quad sum_{i=1}^{n} quad [gcd(n,i) = 1]]

欧拉函数的性质

[sum_{d|n}varphi(d) quad = quad n qquad quad \ quad 写为Dirichlet卷积形式为：varphi*I=id\ quad 即：(varphi*I)(n)= sum_{d|n}varphi(d)*I(frac{n}{d})= sum_{d|n}varphi(d) = n = id(n) \ 证 : sum_{d|n} varphi(d) = sum_{d|n} varphi(frac{n}{d}) = sum_{d|n} sum_{d|i}^{frac{n}{d}} [gcd(frac{n}{d},frac{i}{d})==1] \quad = sum_{d|n} sum_{i=1}^{n} [gcd(n,i)==d] = n 注 : 即枚举了gcd(n,i)的所有情况 , 那么每个i贡献为1 , 求和即为n \]
[ sum_{d|n}dvarphi(frac{n}{d}) quad = quad sum_{i=1}^{n}gcd(i,n) 写为Dirichlet卷积形式为：varphi*id= sum_{i=1}^{n}gcd(k,n) \ quad 证: sum_{d|n}dvarphi(frac{n}{d}) quad = quad sum_{d|n} d sum_{i=1}^{frac{n}{d}}[gcd(i,frac{n}{d})=1]= sum_{d|n} d sum_{i=1}^{frac{n}{d}}[gcd(i*d,n)=d] = sum_{i=1}^{n}gcd(i,n) ]

约数个数和函数 (d)

[ d(n) quad = quad sum_{d|n} quad 1]

约数和函数 (sigma)

[ sigma(n) quad = quad sum_{d|n} quad d ]

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常见数论函数（完全积性）

元函数 (epsilon)

(quad epsilon(n) quad = quad [n=1])

元函数的性质:(quad f*epsilon(n)=f)

恒等函数 (I)

(quad I(n) quad = quad 1)

单位函数 (id)

(quad id(n) quad = quad n)

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莫比乌斯反演相关

莫比乌斯反演

[ egin{aligned} 设: &若有:数论函数 f,F \ &已知: f=F*I=sum_{d|n}F(d) \ &则有: F=f*mu=sum_{d|n}mu(d)*f(frac{n}{d}) \ &证明: f*mu=F*(I*mu)=F*epsilon=F \end{aligned}]

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杜教筛相关

杜教筛

待填坑 咕咕咕

时间复杂度

使用Eula筛处理前(n^{frac{2}{3}})项时复杂度最优
其复杂度为(O(n^{frac{2}{3}})quad)(请手写Hash表)

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常用套路式

我只是看到过 , 不一定"常用"

[ d(ij) = sum_{x|i}sum_{y|j} [gcd(x,y)=1]]

[ sum_{k=1}^{n} d(k) = sum_{k=1}^{n} sum_{d|k} 1 = sum_{d=1}^{n} lfloor frac{n}{i} floor ]

[ sum_{x=1}^{n}sum_{y=1}^{m} [gcd(i,j) = 1] = sum_{d=1}^{min(n,m)} mu(d) lfloor frac{n}{d} floor lfloor frac{m}{d} floor ]

[ [gcd(i,j)=1] = sum_{d|i,d|j} mu(d) ]